ریاضی – بردار ها – معادلات خط و صفحه – جمع دو بردار – بردار یکه
آنچه در این مقاله میخوانید
Toggleبردار ها ، معادلات خط و صفحه
مقدمه
برای بردار ها ، معادلات خط و صفحه در ریاضی باید به این نکته توجه نماییم که کاربردهای ریاضی در فیزیک و مهندسی اغلب به کمیتهایی مربوط اند که شامل بزرگی و جهت هستند؛ مثالهایی از این کمیتها عبارت است از نیرو، سرعت، شتاب و تغییر مکان. چنین کمیتهایی را میتوان بهصورت هندسی توسط یک پاره خط جهتدار نشان داد که آن را بردار مینامیم. کمیتهایی را که هم بزرگی و هم جهت دارند، کمیتهای برداری مینامند. ابتدا یک پارهخط جهتدار را به عنوان پارهخطی از نقطه \({\rm{P}}\)نقطه \({\rm{Q}}\) تعریف میکنیم و این پاره خط جهتدار را با \(\overrightarrow {{\rm{PQ}}} \) نشان میدهیم. نقطه \({\rm{P}}\)، ابتدای محور و نقطه\(Q\) انتهای بردار نامیده میشود. حال دو پاره خط جهتدار (بردار) \(\overrightarrow {{\rm{PQ}}} \) و \(\overrightarrow {{\rm{RS}}} \)را تساوی گوییم اگر دارای طول و جهت یکسانی باشند و مینویسیم \(\overrightarrow {{\rm{RS}}} = \overrightarrow {{\rm{PQ}}} \). (شکل ۱)
از این پس پارهخط جهتدار \(\overrightarrow {{\rm{PQ}}} \) را برداری از\({\rm{P}}\)به \({\rm{Q}}\) مینامیم. برای نشان دادن بردار از حرف معمولی و در بالای آن خطی مانند \({\rm{\vec A}}\) استفاده میکنیم.
میتوان فرض کرد که ابتدای در نقطه مرجع ثابتی قرار دارد زیرا بردارهای رسم شده از نقاط مختلف باهم برابر است. اگر فرض کنیم که نقطه مرجع مبداء دستگاه مختصات دکارتی باشد میتوان بردار را به صورت تحلیلی بر حسب اعداد حقیقی تعریف کرد.
بردار چیست؟
تعریف: هر بردار در صفحه، زوج مرتبی از اعداد حقیقی بهصورت (\(a,b\)) است. اعداد \(a\) و \(b\) مولفههای بردار (\(a,b\)) نامیده میشود.
اگر \({\rm{A}}\) نقطه (\({a_1},{a_2}\)) باشد، بردار \({\rm{\vec A}}\)را میتوان بهطور هندسی با پارهخط جهتدار \(\overrightarrow {{\rm{OA}}} \) نشان داد. هر پارهخط جهتداری که مساوی \(\overrightarrow {{\rm{OA}}} \) باشد نمایش بردار \({\rm{\vec A}}\) است.
تعریف: بردار (\(۰,۰\)) را بردار صفر مینامیم و با\({\rm{\vec O}}\)نشان میدهیم یعنی \({\rm{\vec O}} = \left( {0,0} \right)\)0
تعریف: بزرگی یک بردار عبارتاست از طول هر نمایش آن و جهت یک بردار تا صفر عبارت است از جهت هر نمایش آن. بزرگی بردار\({\rm{\vec A}}\) را با \(\left| {{\rm{\vec A}}} \right|\) نمایش میدهند.
تعریف: اگر \({\rm{\vec A}}\) بردار (\({a_1},{a_2}\)) باشد آنگاه اندازه آن برابر است با :
\(\left| {{\rm{\vec A}}} \right| = \sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2} \)0
تذکر۱: همواره \(\left| {{\rm{\vec A}}} \right|\) عددی نامنفی است و یک بردار نیست. همچنین .\(\left| {\vec 0} \right| = 0\)
مثال ۱: اگر \({\rm{\vec A}}\)=(-3,5)آنگاه \(\left| {{\rm{\vec A}}} \right| = \sqrt {{{\left( { – 3} \right)}^2} + {{\left( 5 \right)}^2}} = \sqrt {34} \)
جهت هر بردار ناصفر به وسیله \({\rm{\theta }}\) مشخص میشود که \({\rm{\vec \theta }}\) اندازه زاویهای است که قسمت مثبت محور \(x\)ها با نمایش موضوع بردار در خلاف جهت عقربههای ساعت میسازد (این زاویه را زاویه هادی نیز میگویند) بدیهی است که \(۰ \le {\rm{\theta }} \le 2{\rm{\pi }}\).
اگر\({\rm{\vec A}} = \left( {{a_1},{a_2}} \right)\) در اینصورت اگر \({a_1} \ne 0\) آنگاه \(\tan {\rm{\theta }} = \frac{{{a_2}}}{{{a_1}}}\) و اگر \({a_1} = 0\) و\({a_2} > 0\) آنگاه \({\rm{\theta }} = \frac{\pi }{2}\) و اگر \({a_1} = 0\) و\({a_2} < 0\) آنگاه \({\rm{\theta }} = \frac{{3\pi }}{2}\).
مثال ۲: اندازه زاویه هادی هریک از بردارهای زیر را برحسب رایان به دست آورید.
الف) \(\left( { – 1,\;1} \right)\) ب) \(\left( {0,\; – 5} \right)\) ج)\(\left( { – 1,\;2} \right)\)
حل:
الف)\(\tan {\rm{\theta }} = – ۱\)پس .\({\rm{\theta }} = \frac{{3\pi }}{4}\)
ب)\(\tan {\rm{\theta }}\)موجود نیست و \({a_2} < 0\) پس\({\rm{\theta }} = \frac{{3\pi }}{2}\).
ج)\(\tan {\rm{\theta }} = – ۲\) و \({\rm{\theta }} = {\tan ^{ – 1}}\left( { – 2} \right) + 2\pi \).
شکل (۲) هر یک از بردارها را در زیر مشاهده می کنید.
جمع دو بردار
منظور از جمع دوبردار \(\vec a\) و \(\vec b\) که با \(\vec a + \vec b\) نشان داده میشود، یعنی بردار حاصل از قرار دادن نقطه شروع \(\vec b\) در نقطه پایان \(\vec a\) و سپس رسم برداری با نقطه شروع \(\vec a\) و نقطه پایان \(\vec b\). (شکل ۳)
( شکل ۳)
این ترسیم در قانون متوازیالاضلاع در فیزیک نیز بیان میشود. در واقع هرگاه\(\vec a\) و \(\vec b\)را از نقطه شروع مشترک \({\rm{O}}\) (مثل شکل ۴) رسم کرده و متوازیالاضلاع \({\rm{OACB}}\) پیموده شده بهوسیله \(\vec a\) و \(\vec b\)را بسازیم آنگاه \(\vec a + \vec b\) قطر متوازیالاضلاع\(\overrightarrow {{\rm{OC}}} \)، میباشد. از این شکل معلوم میشود که:
\(\vec a + \vec b = \overrightarrow {{\rm{OA}}} + \overrightarrow {{\rm{AC}}} = \overrightarrow {{\rm{OC}}} \)
\(\vec b + \vec a = \overrightarrow {{\rm{OB}}} + \overrightarrow {{\rm{BC}}} = \overrightarrow {{\rm{OC}}} \)
این دو با هم،رابطه زیر را ایجاب میکنندکه نشانگر جمع برداری تعویضپذیر است.
(۱)\(\vec a + \vec b = \vec b + \vec a\)
( شکل۴)
شکل (۵ ) نشانگر این است که جمع برداری شرکتپذیر است بدین معنی که:
(۲) \(\left( {\vec a + \vec b} \right) + \vec c = \vec a + \left( {\vec c + \vec b} \right)\)
( شکل۵)
طول یک ضلع هر مثلث نمیتواند از مجموع طول سایر اضلاع تجاوز کند این امر در بردارهای دلخواه \(\vec a\) و \(\vec b\)نامساوی زیر را که به نامساوی مثلثی مشهور است ایجاب میکند:
(۳) \(\left| {\vec a + \vec b} \right| \le \left| {\vec a} \right| + \left| {\vec b} \right|\)
بردار صفر \(\vec 0\) همان نقش عدد صفر را در جمع اسکالر دو جمع برداری دارد یعنی به ازای \(\vec a\) دلخواه:
(۴) \(\vec a + \vec 0 = \vec 0 + \vec a = \vec a\)
بهازای بردار \(\vec a\)، برداری با همان اندازه \(\vec a\) ولی در جهت مخالف، قرینه \(\vec a\)، نام دارد و با \( – \vec a\) نشان داده میشود. از تعریف جمع برداری داریم:
(۵) \(\vec a + \left( { – \vec a} \right) = \vec 0\)
تعریف: تفاضل دو بردار \(\vec a\) و \(\vec b\) را که با \(\vec a – \vec b\) نشان میدهیم میتوان با قرار دادن \(\vec a\) و \(\vec b\) از یک نقطه شروع ساخت و سپس بردار \(\vec a – \vec b\) را که از نقطه پایان \(\vec b\) به نقطه پایان \(\vec a\) رسم میشود درنظر گرفت (شکل ۶).
(شکل۶)
تعریف: مضارب اسکالر یک بردار با حاصلضرب \(p\vec a\) اسکالر ناصفر \(p\) و بردار ناصفر \(\vec a\) برداری تعریف میشود که اندازه آن \(\left| p \right|\) برابر اندازه \(\vec a\) است در نتیجه \(\left| {p\vec a} \right| = \left| p \right|\left| {\vec a} \right|\) هم جهت با \(\vec a\) اگر \(p > 0\) و مخالف جهت اگر \(p < 0\) باشد (شکل ۷). (بخصوص اگر\(\;p = – ۱\left( { – 1} \right)\vec a = – \vec a\))
( شکل۷)
بهازای دو اسکالر\(p\)و \(q\)داریم:
(۶)\(p\left( {q\vec a} \right) = pq\vec a\).
همچنین به ازای بردارهای دلخواه \(\vec b\) و \(\vec a\) و اسکالرهای \(p\) و \(q\) قوانین بخشپذیری زیر را داریم.
\(\left( {p + q} \right)\vec a = p\vec a + q\vec a\)
(۷) \(p\left( {\vec a + \vec b} \right) = p\vec a + p\vec b\)
(شکل ۸) برقراری روابط بالا را نشان میدهد.
(شکل ۸)
بردار یکه
تعریف: هر بردار به طول یک یکه نامیده میشود. اگر\(\vec a\) یک بردار ناصفر باشد، بردار \(\frac{{\vec a}}{{\left| {\vec a} \right|}}\) یک بردار یکه است، زیرا
\(\left| {\frac{{\vec a}}{{\left| {\vec a} \right|}}} \right| = \frac{1}{{\left| {\vec a} \right|}}\left| {\vec a} \right| = 1\)
برداری اختیاری مانند \(\vec A\) در صفحه درنظر میگیریم آن را به صورت زیر مینویسیم:
\(\vec A = \left( {{a_1},{a_2}} \right) = \left( {{a_1},0} \right) + \left( {0,{a_2}} \right) = {a_1}\left( {1,0} \right) + {a_2}\left( {0,1} \right)\)
چون بزرگی هریک از بردار های\(\left( {1,0} \right)\) و \(\left( {0,1} \right)\)برابر یک واحد است آنها را بردار های یکه گوییم و نمادهای زیر را برای این بردار ها داریم:
\(\vec i = \left( {1,0} \right),\;\;\;\;\;\vec j = \left( {0,1} \right)\)
نتیجه میشود که هریک از بردار دلخواهی در صفحه را میتوان به عنوان ترکیب خطی از دو بردار \(\vec i\) و \(\vec j\) نوشت.
مثال ۴: بردار\(\left( {3,\; – 4} \right)\) را برحسب \(\vec i\) و \(\vec j\)مینویسیم:
\(\left( {3,\; – 4} \right) = 3\vec i – 4\vec j\)
فرض کنید \(\vec A\) بردار \(\left( {{a_1},{a_2}} \right)\) و \({\rm{\theta }}\) اندازه زاویه هادی \(\vec A\) برحسب رادیان باشد، در اینصورت \({a_2} = \left| {\vec A} \right|\sin {\rm{\theta }}\) و\({a_1} = \left| {\vec A} \right|\cos {\rm{\theta }}\) و چون \(\vec A = {a_1}\vec i + {a_2}\vec j\) میتوانیم بنویسیم که:
\(\vec A = \left| {\vec A} \right|\cos {\rm{\theta }}\vec i + \left| {\vec A} \right|\sin {\rm{\theta }}\vec j\)
\(\vec A = \left| {\vec A} \right|\left( {\cos {\rm{\theta }}\vec i + \sin {\rm{\theta }}\vec j} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 8 \right)\)
معادله آخر بردار \(\vec A\) را برحسب بزرگی آن، کسینوس و سینوس زاویه هادی \(\vec A\) برحسب رادیان و بردارهای \(\vec i\) و \(\vec j\) بیان میکند.
مثال ۵: بردار \(\left( { – 5,\; – 2} \right)\) را بهصورت معادله (۸) بنویسید.
\(\left| {\left( { – 5,\; – 2} \right)} \right| = \sqrt {{{\left( { – 5} \right)}^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2}} = \sqrt {25 + 9} = \sqrt {29} \)
\(\cos \theta = \frac{{ – 5}}{{\sqrt {29} }}\sin \theta = \frac{{ – 2}}{{\sqrt {29} }}\)
\(\left( { – 5,\; – 2} \right) = \sqrt {29} \left( {\frac{{ – 5}}{{\sqrt {29} }}\vec i + \frac{{ – 2}}{{\sqrt {29} }}\vec j} \right)\)
بردار واحد \(\vec u\) همجهت با \(\vec A\) از رابطه زیر مشخص میشود:
\(\vec u = \frac{{{a_1}}}{{\left| {\vec A} \right|}}\vec i + \frac{{{a_2}}}{{\left| {\vec A} \right|}}\vec j\)
مثال ۶: بردار \(\vec A = \left( {3,1} \right)\) و \(\vec B = \left( { – 2,4} \right)\) مفروضاند. برداری واحد به دست آورید که همجهت با بردار\(\vec A – \vec B\) باشد.
\(\vec A – \vec B = \left( {3,1} \right) – \left( { – 2,4} \right) = \left( {5, – 3} \right) = 5\vec i – 3\vec j\)
\(\left| {\vec A – \vec B} \right| = \sqrt {{{\left( 5 \right)}^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2}} = \sqrt {34} \)
\(\vec u = \frac{5}{{\sqrt {34} }}\vec i – \frac{3}{{\sqrt {34} }}\vec j\)
در اینجا به یکی دیگر از شاخه های ریاضیات بردار ها ، معادلات خط و صفحه یعنی حاصل ضرب نقطه ای اشاره میکنیم.
حاصلضرب نقطهای یا ضرب داخلی دو بردار
تعریف: اگر \(\vec A = \left( {{a_1},{a_2}} \right)\) و \(\vec B = \left( {{b_1},{b_2}} \right)\) دو بردار در صفحه باشند آنگاه حاصل ضرب نقطهای \(\vec A\) و \(\vec B\)را که با \(\vec A.\vec B\) نشان داده میشود بهصورت زیر است:
\(\vec A.\vec B = \left( {{a_1},{a_2}} \right).\left( {{b_1},{b_2}} \right) = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}\)
حاصل ضرب نقطه ای دو بردار عددی حقیقی است و بردار نیست، در ریاضی گاهی آن را حاصل ضرب عددی یا حاصل ضرب داخلی نیز گویند.
مثال ۷: اگر \(\vec A = \left( {2, – 3} \right)\) و \(\vec B = \left( { – \frac{1}{2},4} \right)\) آنگاه:
\(\vec A.\vec B = \left( {2, – 3} \right).\left( { – \frac{1}{2},4} \right) = \left( 2 \right)\left( { – \frac{1}{2}} \right) + \left( { – 3} \right)\left( 4 \right) = – ۱۳\)
اگر زاویه \({\rm{\alpha }}\) بین دو بردار ناصفر\(\vec A\) و\(\vec B\) برحسب رادیان باشد آنگاه
\(\vec A.\vec B = \left| {\vec A} \right|\left| {\vec B} \right|\cos \alpha \)
مثال ۸: اگر\(\vec A = 3\vec i – 2\vec j\) و \(\vec B = 2\vec i + \vec j\) و زاویه بین دو بردار\({\rm{\alpha }}\)باشد با استفاده از نکته بالا داریم:
\(\cos \alpha = \frac{{\vec A.\vec B}}{{\left| {\vec A} \right|\left| {\vec B} \right|}} = \frac{{\left( 3 \right)\left( 2 \right) + \left( { – 2} \right)\left( 1 \right)}}{{\sqrt {9 + 4} \sqrt {4 + 1} }} = \frac{{6 – 2}}{{\sqrt {13} \sqrt 5 }} = \frac{4}{{\sqrt {65} }}\)
تعریف: دو بردار را متوازی گویند هرگاه یکی از آنها مضرب اسکالر بردار دیگر باشد.
تعریف: دو بردار \(\vec A\) و \(\vec B\)را متعامد (عمود بر هم) گویند هرگاه \(\vec A.\vec B = 0\) و برعکس.
مثال ۹: دو بردار \(\left( { – 4,5} \right)\) و \(\left( {10,8} \right)\) متعامد هستند زیرا:
\(\left( { – 4,5} \right).\left( {10,8} \right) = \left( { – 4} \right)\left( {10} \right) + \left( 5 \right)\left( 8 \right) = 0\)
در این جلسه با بردار ها ، معادلات خط و صفحه در ریاضی آشنا شدیم. با ما همراه باشید تا با مطالب بیشتری از ریاضیات آشنا شوید.
دیدگاهتان را بنویسید
برای نوشتن دیدگاه باید وارد بشوید.