ریاضی – بردار – بردار در فضا – خط در فضا – حاصل ضرب خارجی
آنچه در این مقاله میخوانید
Toggleبردار ها در ریاضی یکی از مباحث بسیار مهم میباشند. در پست قبلی به بخش هایی از فصل اول کتاب ریاضی عمومی ۲ یعنی بردار ، جمع دو بردار ، بردار های یکه و حاصل ضرب نقطه ای بردار ها پرداختیم. در این پست قصد داریم تا بخش های بعدی فصل اول کتاب ریاضی عمومی ۲ یعنی تصویر یک بردار روی بردار دیگر ، بردار در فضا ، زوایای هادی و کسینوس های هادی و حاصل ضرب خارجی (برداری) را توضیح دهیم، پس با ما همراه باشید.
تصویر یک بردار روی بردار دیگر – بردار در فضا – زوایای هادی و کسینوس های هادی – حاصل ضرب خارجی (برداری)
۱-تصویر یک بردار روی بردار دیگری در ریاضی
فرض کنید \(\vec b\) و \(\vec a\)دو بردار ناصفر باشند در اینصورت منظور از مولفه \(\vec a\) در امتداد \(\vec b\)که بهصورت \(Com\;P_{\vec b}^{\vec a}\) نوشته میشود یعنی اسکالری که مساوی حاصل ضرب نقطهای \(\vec a.{u_{\vec b}}\) است که در آن \({u_{\vec b}}\) بردار یکهای در جهت \(\vec b\) میباشد. چون
\({u_{\vec b}} = \frac{{\vec b}}{{\left| {\vec b} \right|}}Com\;P_{\vec b}^{\vec a} = \frac{{\vec a.\vec b}}{{\left| {\vec b} \right|}}\)
\(Com\;P_{\vec b}^{\vec a} = \left| {\vec a} \right|\cos \theta \)
که در آن \(\theta \) زاویه بین \(\vec b\) و \(\vec a\)میباشد.
منظور از تصویر \(\vec a\) روی\(\vec b\) که با \(Proj_{\vec b}^{\vec a}\) نموده میشود یعنی برداری که با اندازه \(Com\;P_{\vec b}^{\vec a}\) و موازی \(\vec b\) میباشد. یعنی
\(Proj_{\vec b}^{\vec a} = \left( {Com\;P_{\vec b}^{\vec a}} \right){u_{\vec b}}\)
و داریم:
\(Proj_{\vec b}^{\vec a} = \frac{{\vec a.\vec b}}{{\left| {\vec b} \right|}}{u_{\vec b}} = \frac{{\left( {\vec a.\vec b} \right)\vec b}}{{{{\left| {\vec b} \right|}^2}}}\)
در شکل (۹ ) تعبیر هندسی \(Proj_{\vec b}^{\vec a}\) آورده شده است:
از روی این شکل میتوان \(\vec a\) را بهصورت مجموع دو بردار \(Proj_{\vec b}^{\vec a}\) موازی \(\vec b\) و بردار \(\vec a – Proj_{\vec b}^{\vec a}\) عمود بر \(\vec b\) نمایش داد.
مثال ۱۰: \(Com\;P_{\vec b}^{\vec a}\) و \(Proj_{\vec b}^{\vec a}\) را درصورتی بیابید که\(\vec a = 3\vec i + 2\vec j\) و \(\vec b = 5\vec i – \vec j\)همچنین \(\vec a\) را بهصورت مجموع یک بردار موازی \(\vec b\) و یک بردار متعامد به \(\vec b\) بنویسید.
حل: چون
\(\vec a.\vec b = \left( 3 \right)\left( 5 \right) + \left( 2 \right)\left( { – 1} \right) = 13\;\;\;\;\;\;\left| {\vec b} \right| = \sqrt {{5^2} + – {1^2}} = \sqrt {26} \)
پس
\(Com\;P_{\vec b}^{\vec a} = \frac{{\vec a.\vec b}}{{\left| {\vec b} \right|}} = \frac{{13}}{{\sqrt {26} }}\)
هم چنین
\(Proj_{\vec b}^{\vec a} = \left( {Com\;P_{\vec b}^{\vec a}} \right){u_{\vec b}} = \;\frac{{13}}{{\sqrt {26} }}.\;\frac{{5\vec i – \vec j}}{{\sqrt {26} }} = \frac{5}{2}\vec i – \frac{1}{2}\vec j\)
\(\vec a – Proj_{\vec b}^{\vec a} = 3\vec i + 2\vec j – \left( {\frac{5}{2}\vec i – \frac{1}{2}\vec j} \right) = \frac{1}{2}\vec i + \frac{5}{2}\vec j\)
متعامد به \(\vec a\) است. لذا نمایش \(\vec a\) بهصورت مجموع برداری موازی \(\vec b\) و برداری متعامد به \(\vec b\) بهصورت
\(\vec a = \left( {\frac{5}{2}\vec i – \frac{1}{2}\vec j} \right) + \left( {\frac{1}{2}\vec i + \frac{5}{2}\vec j} \right)\)
مفهوم فیزیکی کار حاصل ضرب نقطهای بردار نیروی \(\vec F\) و بردار تغییر مکان \(\vec d\) است.
۲-بردار ها در فضا
در بخشهای قبلی بردار ها در صفحه و اعمال مختلفی مانند جمع، تفریق و ضرب اسکالرها را تعریف نمودیم. این تعاریف و قوانین بدون هیچ تغییری برای بردار ها در فضا صادقاند.
تعریف: دستگاهی از مختصات قائم \(x\)،\(y\;\)و \(z\)در فضا به مبدأ \(۰\) داشته باشیم. \(\vec i\) بردار یکه در امتداد محور\(x\) مثبت، \(\vec j\) بردار یکه در امتداد \(y\) مثبت و \(\vec k\) بردار یکه در امتداد \(z\) مثبت باشد در اینصورت هر بردار \(\vec a\) در فضا نمایش منحصر بفردی مانند زیر دارد:
\(\vec a = {\vec a_1}\vec i + {\vec a_2}\vec j + {\vec a_3}\vec k\)
بعلاوه \(\left| {\vec a} \right| = \sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2} \).
سهتایی مرتب \(\vec a = \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\)برداری با مولفههای\({a_1}\) و\({a_2}\) و \({a_3}\) میباشد، به طور مشابه اعمال جبری روی بردار های صفحه را میتوان روی فضا تعبیر کرد و سایر خواص بردار ها را به آن تعمیم داد.
مثال ۱۱: فرض کنید \(\vec a = \left( {2, – 1,3} \right)\)،\(\vec b = \left( { – 1,4, – 2} \right)\) و \(\vec c = \left( {1,8,7} \right)\) بردار \(۲\vec a + \vec b – \vec c\) را بیابید و اندازه آن را به دست آورید.
\(۲\vec a + \vec b – \vec c = 2\left( {2, – 1,3} \right) + \left( { – 1,4, – 2} \right) – \left( {1,8,7} \right) = \left( {2, – 6,3} \right)\)
\( = ۲\vec i – 6\vec j – 3\vec k\)
\(\left| {2\vec a + \vec b – \vec c} \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { – 6} \right)}^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2}} = \sqrt {49} = 7\)
همچنین حاصل ضرب نقطهای دو بردار \(\vec a = \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\) و\(\vec b = \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\) بهصورت زیر تعریف میشود:
\(\vec a.\vec b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}\)
همانند بردار های صفحه مقادیر \(Com\;P_{\vec b}^{\vec a}\) و \(Proj_{\vec b}^{\vec a}\)بهصورت زیر بیان میشود:
\(Com\;P_{\vec b}^{\vec a} = \frac{{\vec a.\vec b}}{{\left| {\vec b} \right|}}Proj_{\vec b}^{\vec a} = \frac{{\left( {\vec a.\vec b} \right)\vec b}}{{{{\left| {\vec b} \right|}^2}}}\)
۳-زوایای هادی و کسینوسهای هادی در ریاضی
تعریف: فرض کنید \(\vec a = {a_1}\vec i + {a_2}\vec j + {a_3}\vec k\) برداری ناصفری باشد. همچنین\({\theta _1}\)،\({\theta _2}\) و \({\theta _3}\)زوایای بین\(\vec a\) و بردار های یکه \(\vec i\) و \(\vec j\) و \(\vec k\) باشد در اینصورت داریم:
\(\cos {\theta _1} = \frac{{\overrightarrow {{a_1}} .\vec i}}{{\left| {\overrightarrow {{a_1}} } \right|\left| {\vec i} \right|}} = \frac{{\overrightarrow {{a_1}} }}{{\left| {\overrightarrow {{a_1}} } \right|}},\;\cos {\theta _2} = \frac{{\overrightarrow {{a_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{a_2}} } \right|}},\;\cos {\theta _3} = \frac{{\overrightarrow {{a_3}} }}{{\left| {\overrightarrow {{a_3}} } \right|}}\)
زوایای\({\theta _1}\)،\({\theta _2}\) و \({\theta _3}\)زوایای هادی بردار \(\vec a\)نام دارند و اعداد \(\cos {\theta _1}\)،\(\cos {\theta _2}\) و \(\cos {\theta _3}\) را کسینوسهای هادی \(\vec a\) مینامند. کسینوسهای هادی جهت \(\vec a\) را کاملاً مشخص میکنند.
کسینوسهای هادی در شرط زیر صدق میکنند:
\({\cos ^2}{\theta _1} + {\cos ^2}{\theta _2} + {\cos ^2}{\theta _3} = 1\)
مثال ۱۲: کسینوسهای هادی و زوایای هادی بردار \(\vec a = \left( {4, – 8,1} \right)\) رابیابید.
\({a_1} = 4{\rm{\;}},{a_1} = – 8\;,\;{a_3} = 1\;,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left| {\vec a} \right| = \sqrt {81} = 9\)
\(\cos {\theta _1} = \frac{4}{9},{\rm{\;cos}}{\theta _2} = \frac{{ – 8}}{9},\;\cos {\theta _3} = \frac{1}{9}\)
\({\theta _1} = {\cos ^{ – 1}}\frac{4}{9} \approx 63/{6^0}\)
\({\theta _2} = {\cos ^{ – 1}}\frac{{ – 8}}{9} \approx 152/{7^0}\)
\({\theta _3} = {\cos ^{ – 1}}\frac{1}{9} \approx 83/{6^0}\)
۴-حاصل ضرب خارجی (برداری)
با استفاده از مفهوم حاصل ضرب خارجی خواهیم دید که تحت چه شرایطی سه بردار یک کنج ناتباهیده را تشکید میدهند یا در یک صفحه قرار نمیگیرند. بهوجود آمدن یک متوازی السطوح توسط این سه بردار در این بخش مورد بحث قرار میگیرد.
تعریف: منظور از حاصل ضرب خارجی بردار \(\vec A\) در بردار\(\vec B\) برداری مانند \(\vec C\) است بهطوری که:
الف) سه تایی مرتب \(\left( {\vec A,\vec B,\vec C} \right)\) یک دستگاه راستگرد باشد.
ب) \(\vec C\) به صفحهای که از سه نقطه انتهایی بردار های \(\vec A\)،\(\vec B\)و \(\vec C\) میگذرد عمود باشد.
ج) طول \(\vec C\) برابر است با:\(\left| {\vec C} \right| = \left| {\vec A} \right|\left| {\vec B} \right|\sin \theta \).
که در آن \(\theta \) زاویه بین دو بردار \(\vec A\) و \(\vec B\)است.
حاصل ضرب خارجی \(\vec A\) در \(\vec B\) را با\(\vec C = \vec A \times \vec B\) نشان میدهیم. این حاصل ضرب ، حاصل ضرب برداری نامیده میشود زیرا \(\vec A \times \vec B\) بردار است.
مثال ۱۳: حاصل ضرب خارجی بردار یکه \(\vec A = \vec i\) در بردار یکه \(\vec B = \vec j\) را بیابید.
حل: زاویه بین دو بردار \(\vec i\) و \(\vec j\) برابر \(\frac{\pi }{2}\) رادیان است لذا
\(\left| {\vec C} \right| = \left| {\vec A \times \vec B} \right| = \left| {\vec i} \right|\left| {\vec j} \right|\sin \frac{\pi }{2} = 1\)
همچنین بردار \(\vec C\) به صفحه تشکیل شده توسط \(\vec i\) و \(\vec j\)عمود است در نتیجه:
\(\vec C = \vec i \times \vec j = \vec k\)
نکات مربوط به حاصل ضرب برداری
- اگر زاویه بین دو بردار \(\theta = 0\) یا\(\theta = \pi \) باشد آنگاه اندازه حاصل ضرب خارجی هر بردار در خودش صفر است.
- \(\vec a\) موازی \(\vec b\) است اگر وتنها اگر \(\vec a \times \vec b = 0\).
- \(\left| {\vec a \times \vec b} \right| = \left| {\vec b \times \vec a} \right|\) همچنین \(\vec a \times \vec b\)و \(\vec b \times \vec a\)مختلف الجهت میباشند.
\(\vec a \times \vec b = – \left( {\vec b \times \vec a} \right)\)
- هرگاه \(p\) و \(q\) اسکالر باشند بهازای هر سه بردار دلخواه \(\vec c\)،\(\vec b\) و \(\vec a\) داریم:
\(\left( {p\vec a} \right) \times \left( {q\vec b} \right) = pq\left( {\vec a \times \vec b} \right)\)
\(\vec a \times \left( {\vec b + \vec c} \right) = \left( {\vec a \times \vec b} \right) \times \left( {\vec a \times \vec c} \right)\)
\(\left( {\vec a + \vec b} \right) \times \vec c = \left( {\vec a \times \vec c} \right) + \left( {\vec b \times \vec c} \right)\)
- حاصل ضرب های خارجی شرکتناپذیرند یعنی لزوماً \(\left( {\vec a \times \vec b} \right) \times \vec c\) مساوی\(\vec a \times \left( {\vec b \times \vec c} \right)\) نیست. بهعنوان مثال:
\(\left( {\vec i \times \vec j} \right) \times \left( {\vec i + \vec j} \right) = \vec k \times \left( {\vec i + \vec j} \right) = \left( {\vec k \times \vec i} \right) + \left( {\vec k \times \vec j} \right) = \vec j – \vec i\)
\(\vec i \times \left( {\vec j \times \left( {\vec i + \vec j} \right)} \right) = \vec i \times \left( {\left( {\vec j \times \vec i} \right) + \left( {\vec j \times \vec j} \right)} \right) = \vec i \times \left( {\vec k} \right) = \vec j\)
نشان میدهد که لزوماً حاصل ضرب خارجی شرکت پذیر نیست.
- حاصل ضرب خارجی را میتوان با استفاده از مفهوم دترمینان ماتریسها محاسبه کرد اگر:
\(\vec b = \left( {{\beta _1},{\beta _2},{\beta _3}} \right),\;\;\vec a = \left( {{\alpha _1},{\alpha _2},{\alpha _3}} \right)\)
\(\vec a \times \vec b = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}&{\vec k}\\{{\alpha _1}}&{{\alpha _2}}&{{\alpha _3}}\\{{\beta _1}}&{{\beta _2}}&{{\beta _3}}\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{\alpha _2}}&{{\alpha _3}}\\{{\beta _2}}&{{\beta _3}}\end{array}} \right|\vec i – \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{\alpha _1}}&{{\alpha _3}}\\{{\beta _1}}&{{\beta _3}}\end{array}} \right|\vec j + \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{\alpha _1}}&{{\alpha _2}}\\{{\beta _1}}&{{\beta _2}}\end{array}} \right|\vec k\)
\( = \left( {{\alpha _2}{\beta _3} – {\alpha _3}{\beta _2}} \right)\vec i – \left( {{\alpha _3}{\beta _1} – {\alpha _1}{\beta _3}} \right)\vec j + \left( {{\alpha _1}{\beta _2} – {\alpha _2}{\beta _1}} \right)\vec k\)
- مساحت مثلثی که روی سه رأس \(P\)،\(Q\) و\(R\) بنا میشود برابر است با:
\(S = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {PQ} \times \overrightarrow {PR} } \right|\)
- در بین حاصلضربهای مختلف، مهمترین آن ها حاصلضرب سهگانه مختلط \(\vec a.\left( {\vec b \times \vec c} \right)\) است که
حاصلضرب نقطهای بردارهای\(\vec a\) و \(\vec b \times \vec c\) است.تعبیر هندسی عدد \(\vec a.\left( {\vec b \times \vec c} \right)\)با فرض \(\vec b \times \vec c \ne 0\)
داخل قدرمطلق برابر حجم متوازیالسطوحی است که روی سه بردار \(\vec a\) و \(\vec b\) و \(\vec c\) بنا شده است. و اگر سه بردار \(\vec a\) و \(\vec b\) و \(\vec c\)همصفحه باشند آنگاه \(\vec a.\left( {\vec b \times \vec c} \right) = 0\) است.
- برای سه بردار \(\vec a\) و \(\vec b\) و \(\vec c\)داریم:\(\vec a.\left( {\vec b \times \vec c} \right) = \left( {\vec a \times \vec b} \right).\vec c\).
مثال ۱۴: مساحت مثلثی که روی سه رأس \(P = \left( {3,4,7} \right)\) و \(Q = \left( {0,6,1} \right)\) و \(R = \left( {5, – 2,4} \right)\) بنا میشود بیابید.
\(\overrightarrow {PQ} = \left( {0 – 3,\;6 – 4,\;1 – 7} \right) = \left( { – 3,\;2,\; – 6} \right)\)
\(\overrightarrow {PR} = \left( {5 – 3,\; – 2 – 4,\;4 – 7} \right) = \left( {2,\; – 6, – 3} \right)\)
\(\overrightarrow {PQ} \times \overrightarrow {PR} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}&{\vec k}\\{ – 3}&2&{ – 6}\\2&{ – 6}&{ – 3}\end{array}} \right| = \left( { – 12} \right)\vec i + \left( { – 21} \right)\vec j + \left( {14} \right)\vec k\)
\(S = \left| {\overrightarrow {PQ} \times \overrightarrow {PR} } \right| = \sqrt {{{\left( { – 12} \right)}^2} + {{\left( { – 21} \right)}^2} + {{\left( {14} \right)}^2}} = \sqrt {144 + 441 + 196} \)
\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \sqrt {781} \)
مثال ۱۵: حجم متوازیالسطوحی را که روی سه بردار
\(\vec a = \left( {1,3, – 1} \right)\)
\(\vec b = \left( { – 2,1,2} \right)\)
\(\vec c = \left( {3,5, – 2} \right)\)
بنا میشود را بیابید.
\(\vec b \times \vec c = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}&{\vec k}\\{ – 2}&1&2\\3&2&{ – 2}\end{array}} \right| = – 12\vec i + 2\vec j – 13\vec k\)
\(V = \left| {\vec a.\left( {\vec b \times \vec c} \right)} \right| = \left| {\left( {1,\;3, – 1} \right).\left( { – 12,\;2, – 13} \right)} \right| = \left| { – 12 + 3 + 13} \right| = 4\)
پس تصویر یک بردار روی بردار دیگر ، بردار ها در فضا ، زوایای هادی و کسینوس های هادی و حاصل ضرب خارجی (برداری) را همراه با مثالهای کاربردی توضیح دادیم. تا ارائه مطالب دیگر از این دست، شما را به خدای بزرگ میسپاریم.
مطالب زیر را حتما مطالعه کنید
تابع چیست؟(قسمت دوم)+دامنه و برد + نمودار + 15 مثال
تابع چیست؟(قسمت اول) 16 مثال کامل + تعاریف و قضایا
ریاضی – مشتق و انتگرال توابع برداری – طول قوس – تابع طول قوس
ریاضی – معادلات خط و صفحه – خط در فضا – صفحه در فضا
ریاضی – بردار ها – معادلات خط و صفحه – جمع دو بردار – بردار یکه
اصل شمارش (۲- فاکتوریل و فرمول استرلینگ)
1 دیدگاه
به گفتگوی ما بپیوندید و دیدگاه خود را با ما در میان بگذارید.
دیدگاهتان را بنویسید لغو پاسخ
برای نوشتن دیدگاه باید وارد بشوید.
دو دترمینان اخر صفحه اشتباه حل شدن