ریاضی – معادلات خط و صفحه – خط در فضا – صفحه در فضا
آنچه در این مقاله میخوانید
Toggleبردارها در ریاضیات یکی از مباحث بسیار مهم میباشند. در پست قبلی به بخش هایی از فصل اول کتاب ریاضی عمومی ۲ یعنی بردار، جمع دو بردار، بردارهای یکه و حاصل ضرب نقطه ای بردارها پرداختیم. در این پست قصد داریم تا بخش های بعدی فصل اول کتاب ریاضی عمومی ۲ یعنی خط در فضا و صفحه در فضا را توضیح دهیم، پس با ما همراه باشید.
خط در فضا
یکی از مهم ترین مباحث ریاضی ۲، خط در فضا و صفحه در فضا می باشد. هدف این قسمت نسبت دادن دستگاهی از معادلهها به یک خط است. اگر این خط در صفحه باشد تعداد معادلههای دستگاه دو و اگر در فضا باشد این تعداد برابر سه خواهد بود. خط\(L\) و نقطه \({P_0}\) را بر آن درنظر میگیریم. \(L\) را به یک محور اعداد حقیقی با مبدأ \({P_0}\)تبدیل میکنیم. به هر نقطه \(P\) واقع بر \(L\) فقط یک عدد حقیقی متناظر میشود این عدد فاصله جهتدار دو نقطه \(P\) و \({P_0}\) است. خط \(L\) را یک خط جهتدار مینامیم. جهتی که متناظر با مجموعه اعداد مثبت است.
معادله خط در فضا
تعریف: خط جهتدار با مبدأ \({P_0} = \left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)\) و بردار\(\vec m = \left( {a,b,c} \right)\) موازی \(L\) منحصراً تعیین میشود. در اینصورت نقطه دلخواه \(P\) بر \(L\) واقع است اگر وتنها اگر \(\overrightarrow {{P_0}P} \)و \(\vec m = \left( {a,b,c} \right)\) موازی باشند یا معادلاً
\(\overrightarrow {{P_0}P} = t\vec m = t\left( {a,b,c} \right)\)
که در آن \(t\) اسکالر دلخواهی است.
\(\overrightarrow {{P_0}P} = \overrightarrow {OP} – \overrightarrow {O{P_0}} = \left( {x – {x_1},\;y – {y_1},z – {z_1}} \right)\)
یا
\(x – {x_1} = ta\;,\;\;\;y – {y_1} = tb\;,\;\;\;z – {z_1} = tc\)
وقتی \(t\) از \( + \infty \)تا\( – \infty \) افزایش یابد، نقطه به مختصات \(L\) را میپیماید. لذا معادلات
\(x = {x_1} + at\;,\;\;\;y = {y_1} + bt\;,\;\;\;z = {z_1} + ct\)
معادلات پارامتری \(L\) با پارامتر \(t\) میباشند.
اعداد \(a\)،\(b\)و \(c\) پارامترهای هادی خط \(L\) نام دارند و اگر همگی مخالف صفر باشند میتوان \(t\) را از معادلات حذف کرد و داریم:
\(\frac{{x – {x_1}}}{a} = \frac{{y – {y_1}}}{b} = \frac{{z – {z_1}}}{c}\)
و میتوان از این معادلات وقتی یکی یا چندتا از پارامترهای هادی خط صفرند استفاده کرد بهعنوان مثال اگر\(c = 0\) باشد داریم:
\(\frac{{x – {x_1}}}{a} = \frac{{y – {y_1}}}{b},\;\;\;z = {z_1}\)
مثال ۱۶: معادلات پارامتری و تقارنی خط ماربر نقطه \({P_0} = \left( {3, – 1,2} \right)\)موازی بردار \(\vec m = \left( { – 2,4,5} \right)\) را بنویسید.
حل: در اینجا داریم :
درنتیجه معادله پارامتری
\(x = 3 – 2t\;,\;\;\;y = – 1 + 4t\;,\;\;\;z = 2 + 5t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;( – \;\infty < t < + \infty )\)
معادله تقارنی
\(\frac{{x – 3}}{{ – 2}} = \frac{{y + 1}}{4} = \frac{{z – 2}}{5}\)
مثال ۱۷: زاویه بین دو خط زیر را بیابید.
\({L_1} = \frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{3 + z}}{{ – 1}}\)
\({L_2} = \frac{{2x – 1}}{4} = \frac{{1 – y}}{3} = \frac{{3 + z}}{4}\)
حل: زاویه بین دو خط معادل است با زاویه بین دو بردار هادی خط. یعنی
\(\overrightarrow {{m_1}} = \left( {2,1, – 1} \right){\rm{\;\;}},\overrightarrow {{m_2}} = \left( {2, – 3,4} \right)\)
\(\cos \alpha = \frac{{{m_1}{m_2}}}{{\left| {{m_1}} \right|\left| {{m_2}} \right|}} = \frac{{ – 3}}{{\sqrt {29 \times 6} }}\)
\(\;\;\;\;\alpha = {\cos ^{ – 1}}\left( {\frac{{ – 3}}{{\sqrt {174} }}} \right)\)
از سراسر وب: مرجی – مرجع مطالب خانه و آشپزخانه، آرایشی و بهداشتی و سبک زندگی
فاصله یک نقطه و یک خط در فضا
خط\(L\) در فضا و نقطه \(P\) غیرواقع بر \(L\) داده شده است. اگر \(\vec m\) برداری موازی\(L\) بوده و \(Q\) نقطهای از آن باشد. در اینصورت فاصله \(d\) بین \(P\) و \(L\) از رابطه زیر بدست میآید:
\(d = \frac{{\left| {\vec m \times \overrightarrow {PQ} } \right|}}{{\left| {\vec m} \right|}}\)
مثال ۱۸: فاصله نقطه \(P\left( {4,2, – 2} \right)\) و خط \(L\) به معادلات پارامتری
\(x = 3 – 2t\;,\;\;\;y = 6t\;,\;\;\;z = – 1 + 9t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;( – \;\infty < t < + \infty )\)
را بیابید.
حل: نقطه \(Q\left( {3,0, – 1} \right)\) روی این خط واقع و \(\vec m = \left( { – 2,6,9} \right)\) میباشد پس:
\(\overrightarrow {QP} = \left( {1,2, – 1} \right)\)
و
\(\vec m \times \overrightarrow {PQ} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}&{\vec k}\\{ – 2}&6&9\\1&2&{ – 1}\end{array}} \right| = – 24\vec i + 7\vec j – 10\vec k\)
و لذا طبق فرمول \(d\) داریم:
\(d = \frac{{\left| {\vec m \times \overrightarrow {PQ} } \right|}}{{\left| {\vec m} \right|}} = \frac{{\sqrt {{{\left( { – 24} \right)}^2} + {{\left( 7 \right)}^2} + {{\left( { – 10} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( { – 2} \right)}^2} + {{\left( 6 \right)}^2} + {{\left( 9 \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {725} }}{{\sqrt {121} }} = \frac{5}{{11}}\sqrt {29} \)
صفحه در فضا
معادله صفحه
مانند معادله خط \(L\)که با نقطه \({P_0}\) و بردار موازی \(\vec m\) مشخص شد، صفحه \(\pi \) با نقطه \({P_0}\) در\(\;\pi \) و بردار ناصفر \(\vec n = \left( {a,b,c} \right)\)عمود بر \(\pi \) مشخص میشود. بردار \(\vec n\)را قائم بر صفحه \(\pi \) مینامیم. از روی شکل زیر مشخص میشود که \(P\) در \(\pi \) است.
بردارهای \(\vec n = \left( {a,b,c} \right)\) و \(\overrightarrow {{P_0}P} \) بر هم عمودند و یا معادلاً
\(\vec n.\overrightarrow {{P_0}P} = 0\)
و \(\overrightarrow {{P_0}P} = \left( {x – {x_0},\;y – {y_0},z – {z_0}} \right)\)درنتیجه
\(a\left( {x – {x_0}} \right) + b\left( {\;y – {y_0}} \right) + c\left( {z – {z_0}} \right) = 0\)
این معادله را معادله صفحه ماربر \(P\) و عمود بر \(\vec n = \left( {a,b,c} \right)\)گویند.
مثال ۱۹: معادله صفحه ماربر نقطه \({P_0}\left( { – 2,1,3} \right)\) و عمود بر بردار \(\left( {4,5, – 1} \right)\) را بیابید.
حل:\({x_0} = – 2{\rm{\;}},{y_0} = 1{\rm{\;}},{z_0} = 3\;,a = 4\;,\;b = 5,\;c = – 1\)میباشند پس:
\(۲\left( {x + 2} \right) + 5\left( {y – 1} \right) – \left( {z – 3} \right) = 0\)
\(۴x + 5y – z + 6 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\)
مثال ۲۰: فصل مشترک دو صفحه
\(x + 2y – z + 3 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\)
\(۲x – 3y + 4z – 1 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\)
را بیابید.
حل: صفحه اول دارای بردار قائم \(\overrightarrow {{n_1}} \) و صفحه دوم دارای بردار قائم \(\overrightarrow {{n_2}} \) است چون فصل مشترک دو صفحه باید به هر دوی \(\overrightarrow {{n_1}} \)و \(\overrightarrow {{n_2}} \) عمود باشد لذا بردار هادی فصل مشترک برابر است با:
\(\vec L = \overrightarrow {{n_1}} \times \overrightarrow {{n_2}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}&{\vec k}\\2&{ – 3}&4\\1&2&{ – 1}\end{array}} \right| = – 5\vec i + 6\vec j + 7\vec k\)
برای یافتن نقطهای به \(L\) در هر دو معادله صفحه قرار میدهیم \(z = 0\) و دستگاه حاصل از معادله \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2y + 3 = 0}\\{2x – 3y – 1 = 0}\end{array}} \right.\) را حل میکنیم و \(x\) و \(y\)را مییابیم. \(x = – 1\) و \(y = – 1\) لذا نقطه \(\left( { – 1, – 1,0} \right)\) روی فصل مشترک قرار دارد پس معادله فصل مشترک برابر است با:
\(\frac{{x + 1}}{{ – 5}} = \frac{{y + 1}}{6} = \frac{z}{7}\)
مثال ۲۱: معادله صفحه ماربر سه نقطه\({P_1}\left( {1,2, – 1} \right)\)،\({P_2}\left( {1,3,2} \right)\) و \({P_3}\left( { – 2,2,1} \right)\)را بیابید.
حل: ابتدا بردارهای \(\overrightarrow {{P_1}{P_2}} \) و \(\overrightarrow {{P_1}{P_3}} \) را مییابیم:
\(\overrightarrow {{P_1}{P_2}} = \left( {0,1,3} \right)\)
\(\overrightarrow {{P_1}{P_3}} = \left( { – 3,0,2} \right)\)
بردار قائم بر صفحه همان بردار حاصلضرب برداری \(\overrightarrow {{P_1}{P_2}} \) و \(\overrightarrow {{P_1}{P_3}} \) میباشد:
\(\overrightarrow {{P_1}{P_2}} \times \overrightarrow {{P_1}{P_3}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}&{\vec k}\\0&1&3\\{ – 3}&0&2\end{array}} \right| = 2\vec i – 9\vec j + 3\vec k\)
معادله صفحه ماربر نقطه \({P_1}\left( {1,2, – 1} \right)\) و بردار قائم \(\vec n = \left( {2, – 9,3} \right)\) برابر است با:
\(۲\left( {x – 1} \right) – 9\left( {y – 2} \right) + 3\left( {z + 1} \right) = 0\)
\(۲x – 9y + 3z + 19 = 0\)
مثال ۲۲:زاویه بین صفحات \(۶x + 6y – 3z + 5 = 0\)و \(x – 2y + 2z – 4 = 0\) را بیابید.
حل: زاویه بین دو صفحه همان زاویه بین دو بردار قائم است.
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {6,6, – 3} \right),\;\;\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1, – 2,2} \right)\)
\(\cos \theta = \frac{{\overrightarrow {{n_1}} \;.\overrightarrow {{n_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{6\left( 1 \right) + 6\left( { – 2} \right) – 3\left( 2 \right)}}{{\sqrt {{6^2} + {6^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2}} \sqrt {{1^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2} + {2^2}} }}\)
\( = \frac{{ – 12}}{{\sqrt {81} \sqrt 9 }} = \frac{{ – 12}}{{27}} = \frac{{ – 4}}{9}\)
زاویه بین صفحات داده شده برابر است با:
\({\rm{\pi }} – {\rm{\theta }} = {\rm{\pi }} – {\rm{co}}{{\rm{s}}^{ – 1}}\left( {\frac{{ – 4}}{9}} \right) = {\cos ^{ – 1}}\left( {\frac{4}{9}} \right) \approx 63/{6^0}\)
فاصله بین یک نقطه و یک صفحه
اگر \(D\) خط فاصله بین نقطه \({P_0}\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) و صفحه \({\rm{\pi }}\) به معادله\(ax + by + cz + d = 0\)
باشد آنگاه:
\(D = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)
فاصله بین دو صفحه موازی
اگر \({\pi _1}\) و \({\pi _2}\) دو صفحه موازی باشند، یک نقطه دلخواه روی صفحه \({\pi _1}\) انتخاب سپس با استفاده از فرمول بالا فاصله دو صفحه موازی را مییابیم که همان فاصله نقطه دلخواه تا صفحه \({\pi _2}\) است.
مثال ۲۳: فاصله نقطه را از صفحه به معادله \(۲x – 3y + 4z + 2 = 0\)بیابید.
حل: فاصله را از فرمول بالا داریم:
\(D = \frac{{\left| {2\left( 2 \right) – 3\left( 1 \right) + 4\left( { – 1} \right) + 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2} + {4^2}} }} = \frac{{\left| {\;4 – 3 – 4 + 2} \right|}}{{\sqrt {4 + 9 + 16} }} = \frac{1}{{\sqrt {29} }}\)
نکاتی در مورد معادلات خط و صفحه:
۱-دو خط \({L_1}\) و\({L_2}\) در فضا متنافرند، اگر نه موازی و نه متقاطع باشند. خطوط \({L_1}\) و \({L_2}\) به معادلات
\(\frac{{x – {x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y – {y_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{z – {z_1}}}{{{c_1}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{x – {x_2}}}{{{a_2}}} = \frac{{y – {y_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{z – {z_2}}}{{{c_2}}}\)
متنافرند اگر و تنها اگر دترمینان
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_2} – {x_1}}&{{y_2} – {y_1}}&{{z_2} – {z_1}}\\{{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\end{array}} \right|\)
ناصفر باشد یا اگر\({P_1}\) و \({P_2}\) نقاطی روی \({L_1}\) و \({L_2}\) و\({m_1}\) و \({m_2}\) بردارهای هادی\({L_1}\) و \({L_2}\)باشند دو خط متنافرند هرگاه:
\(\overrightarrow {{P_1}{P_2}} .\left( {\overrightarrow {{m_1}} \times \overrightarrow {{m_2}} } \right) \ne 0\)
۲-هرگاه دو خط با شرایط بالا متنافر باشند کوتاهترین فاصله بین آنها مساوی است با:
\(d = \frac{{\left| {\overrightarrow {{P_1}{P_2}} .\left( {\overrightarrow {{m_1}} \times \overrightarrow {{m_2}} } \right)} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{m_1}} \times \overrightarrow {{m_2}} } \right|}}\)
که در آن \({P_1}\) نقطهای روی خط \({L_1}\)، \({P_2}\) نقطهای روی خط \({L_2}\) و \({m_1}\) و \({m_2}\)بردارهای هادی خطوط\({L_1}\) و \({L_2}\) میباشند.
۳-شرط اینکه چهار نقطه \(O\) و \(A\) و \(B\) و \(C\)در یک صفحه باشند این است که حاصلضرب سهگانه صفر باشد یعنی
\(\overrightarrow {OA} .\left( {\overrightarrow {OB} \times \overrightarrow {OC} } \right) = 0\)
و در غیر اینصورت تشکیل یک متوازیالسطوح میدهند که حجم آن از روی
\(\left| {\overrightarrow {OA} .\left( {\overrightarrow {OB} \times \overrightarrow {OC} } \right)} \right|\)
به دست میآید.
در این پست به دو مورد از مهم ترین مباحث ریاضی عمومی۲ یعنی خط در فضا و صفحه در فضا پرداختیم.
دیدگاهتان را بنویسید
برای نوشتن دیدگاه باید وارد بشوید.