نامساویها؛ چند نامساوی اساسی
چند نامساوی۱ اساسی
مقدمه
چنانکه میدانیم یکی از ویژگیهای مهم اعداد حقیقی مقایسه پذیری است. میتوانیم دو عدد حقیقی متمایز را باهم مقایسه کنیم و ببینیم که یکی کوچکتر یا بزرگتر از دیگری است. یک ترتیب ذاتی $<$ در دستگاه اعداد حقیقی $\mathbb{R}$ وجود دارد که به ما در مقایسه دو عدد حقیقی کمک میکند. خواص اساسی این ترتیب روی $\mathbb{R}$ عبارتند از:
(i) برای هر دو عدد حقیقی مفروض $a$ و $b$ ، یکی و تنها یکی از روابط سه گانه زیر درست است:
(قانون تثلیث) ؛ $a<b$ یا $a=b$ یا $a>b$
(ii) $a>0$ و $b>0$ نتیجه میدهد $a+b>0$ ؛
(iii) $a>0$ و $b>0$ نتیجه میدهد $ab>0$ .
هر نامساوی را که بدست آوریم بطور کلی به این خواص اساسی وابسته است. نامساوی میانگین حسابی-هندسی، نامساوی کوشی-شوارتز، نامساوی چبیشف، نامساوی تجدید آرایش، نامساویهای هولدر و مینکوفسکی از این خواص استخراج میشوند و همچنین این خواص در مطالعات توابع محدب و مقعر کاربرد دارند. برخی نتایج ساده از این ویژگیهای اساسی ترتیب روی $\mathbb{R}$ عبارتند از:
(۱) $a<b$ ، آنگاه $a+c<b+c$ ، برای هر عدد حقیقی $c$ ؛
(۲) $a<b$ و $c>0$ نتیجه میدهد $ac<bc$ ؛ اگر $c<0$ ، خواهیم داشت $ac>bc$ ؛
(۳) $۰<a<b$ نتیجه میدهد $۰<1/b<1/a$ ؛
(۴) $a<0$ و $b<0$ ، آنگاه $ab>0$ و اگر $a<0$و $b>0$ نتیجه میدهد $ab<0$ ؛
(۵) $a<b$ و $b<c$ باهم نتیجه میدهند $a<c$ (قانون تعدی۲) ؛
(۶) اگر $ac<bc$ و $c>0$ ، خواهیم داشت $a<b$ ؛
(۷)اگر $۰<a<1$ نتیجه میدهد $a^{2}<a$ ؛ اگر $a>1$ ، خواهیم داشت $a^{2}>a$ ؛
(۸) برای هر عدد حقیقی $a$ ، $a^{2}\geq 0$ ؛
(۹) اگر $a$ و $b$ مثبت و $a^{2}<b^{2}$ ، خواهیم داشت $a<b$ .
در اینجا تاکید میکنیم که تفریق نامساویها در حالت کلی مجاز نیست. اگر $a>b$ و $c>d$ نمیتوانیم ضمانت کنیم که $a-c>b-d$ یا $c-a>d-b$ . دلیل آن واضح است: $x>y$ نتیجه میدهد $-x<-y$ . به طور مشابه نمیتوان یک نامساوی را بر یک نامساوی دیگر تقسیم نمود. اگر $a>b$ و $c>d$ و هیچکدام از $a, b, c, d$ برابر $۰$ نباشند نه $\displaystyle \frac{a}{c}>\frac{b}{d}$ درست است و نه $\displaystyle \frac{c}{a}>\frac{d}{b}$ . مجددا دلیل روشن است: $x>y$ نتیجه میدهد $\displaystyle \frac{1}{x}<\frac{1}{y}$ ($x,y$ برابر صفر نیستند). از طرف دیگر میتوان دو نامساوی را باهم جمع نمود و اگر همه جملات نامساوی مثبت باشند، همچنین میتوان در هم ضرب نمود: اگر $a, b, c, d$ مثبت باشند و داشته باشیم $a>b, c>d$ خواهیم داشت: $ac>bd$ .
برای هر عدد حقیقی $x$ قدر مطلق آن را به این صورت تعریف میکنیم:
\[
|x|= \begin{cases}
x & \text{if} \quad x ≥ 0, \\
-x & \text{if} \quad x < 0. \\
\end{cases}
\]
توجه داشته باشید $|x|\geq 0$ و $|x|=0$ اگر و تنها اگر $x=0$. تابع قدرمطلق $x\rightarrow|x|$ خواص جالبی دارد:
(۱) $|-x|=|x|$ ؛ $|x|^{2}=x^{2}$ ؛ $|xy|=|x||y|$ ؛ $|x/y|=|x|/|y|$ برای $y\neq 0$ .
(۲) $|x+y|\leq|x|+|y|$ و تساوی برقرار است اگر و تنها اگر $x$ و $y$علامت یکسانی داشته باشند. این رابطه به نامساوی مثلثی معروف است.
(۳) $||x|-|y||\leq|x-y|$ .
اما یک ترتیب مفید فایده روی دستگاه اعداد مختلط $\mathbb{C}$ نداریم؛ یک ترتیب طبیعی روی $\mathbb{C}$ مانند آنچه که $\mathbb{R}$ از آن برخوردار است، وجود ندارد. (این یک اصل جهانشمول است که اگر بخواهید چیزی بدست آورید باید چیزی از دست بدهید.) به هرحال می توانیم با استفاده از قدرمطلق اعداد مختلط خودمان را به همان دستگاه اعداد حقیقی محدود کنیم. برای هر عدد مختلط $z=a+ib$ ، مزدوج مختلط آن را با $\bar{z}=a-ib$ و قدر مطلق آن را با $|z|= \sqrt{a^{2}+b^{2}}$ نشان میدهیم. توجه داریم که $|z|^{2}=z\cdot\bar{z}$ . به آسانی میتوان خواص زیر را احراز نمود:
(۱) $|z|\geq 0$ ؛ و $|z|=0$ اگر و تنها اگر $z=0$ ؛
(۲) $|z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|$ ؛
(۳) $|z_{1}+z_{2}|\leq|z_{1}|+|z_{2}|$ و تساوی برقرار است اگر و تنها اگر $z_{1}=\lambda z_{2}$ برای یک عدد حقیقی مثبت $\lambda$ ، یا اینکه یکی از $z_{1}, z_{2}$ صفر باشند.
۱٫Inequalities
۲٫transitivity
دیدگاهتان را بنویسید
برای نوشتن دیدگاه باید وارد بشوید.