اصل شمارش (۲- فاکتوریل و فرمول استرلینگ)
آنچه در این مقاله میخوانید
Toggleدر مطالب قبلی وبلاگ تاتوره در مورد اصل شمارش (اصل ضرب و اصل جمع) صحبت کردیم. اکنون در این قسمت قصد داریم تا در رابطه با فاکتوریل و فرمول استرلینگ را توضیح دهیم. پس ما را در این قسمت همراهی کنید.
فاکتوریل
در بسیاری از وضعیتها برای حاصل ضربهایی نظیر
\(۳ \times 2 \times 1\)
\(۴ \times 3 \times 2 \times 1\)
\( ۵\times 4 \times 3 \times 2 \times 1\)
\(۶\times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\)
که هر کدام از آنها حاصل ضرب دنبالهای از اعداد طبیعی متوالی بوده و تمام آنها به یک ختم میشوند، داشتن نماد ساده مفید است.
تعریف:
حاصل ضرب تمام اعداد طبیعی از \(n\) تا ۱ را بصورت \(n!\) مینویسیم و آن را «\(n\) فاکتوریل» میخوانیم.
\(۰! = ۱\)
\(۱! = ۱\)
\(۲! = ۲ \times 1\)
\(۳! = ۳ \times 2 \times 1\)
\(۴! = ۴ \times 3 \times 2 \times 1\)
\( \vdots \)
\(n! = n \times \left( {n – 1} \right) \times \ldots \times 2 \times 1\)
مثال۱:
\(۸!,{\rm{\;}}5!,{\rm{\;}}3!{\rm{\;}}\) را بصورت حاصل ضرب در آورده و سپس آنها را محاسبه کنید.
حل:
\(۳! = ۳ \times 2 \times 1 = 6\)
\(۵! = ۵ \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)
\(۸! = ۸ \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320\)
مثال۲:
هر یک از مقادیر زیر را بدست آورید.
- \(\left( {4 + 3} \right)!\)
- \(۴! + ۳!\)
- \(\frac{{12!}}{{10!}}\)
حل:
- \(\left( {4 + 3} \right)! = 7! = 5040\)
- \(۴! + ۳! = \left( {4 \times 3 \times 2 \times 1} \right) + \left( {3 \times 2 \times 1} \right) = 30\)
- \(\frac{{12!}}{{10!}} = \frac{{12 \times 11 \times 10!}}{{10!}} = 12 \times 11 = 132\;\)
مثال۳:
مقدار \(\frac{{n!}}{{\left( {n – r} \right)!r!}}\) را وقتی که \(n{\rm{\;}} = {\rm{\;}}12\) و \(r{\rm{\;}} = {\rm{\;}}6\) است، بدست آورید.
حل:
\(\frac{{n!}}{{\left( {n – r} \right)!r!}} = \frac{{12!}}{{6!6!}} = \frac{{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}}{{6! \times 6!}}\;\)
\( = \frac{{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}}{{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}} = 924\)
مثال۴:
کدام یک از روابط زیر صحیح و کدام یک غلط است؟
الف) \(۸! = ۸ \times 7!\)
ب) \(\frac{{10!}}{{9!}} = 9\;\)
پ) \(۴! + ۴! = ۸!\)
ت) \(۲! – ۱! = ۱!\)
ث) \(n! = n\left( {n – 1} \right)!\;\) به ازای \(n > 1\)
ج) \(n! = \left( {{n^2} – n} \right)\left( {n – 2} \right)!\) به ازای \(n > 2\)
حل:
الف) صحیح است. زیرا : \({\rm{\;}}8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 8 \times 7!\)
ب) صحیح نیست، زیرا: \(\frac{{10!}}{{9!}} = = \frac{{10 \times 9!}}{{9!}} = 10\)
پ) صحیح نیست، زیرا در حالت کلی فاکتوریل ها از قوانین جمع پیروی نمیکنند.
\(۴!\; + \;۴!\; = \;۲۴\; + \;۲۴\; = \;۴۸\) و
ت) صحیح است زیرا: \(۲!\;–\;۱!\; = \;۲\;–\;۱\; = \;۱\)
ث) صحیح است، با توجه به تعریف فاکتوریل.
ج) صحیح است، زیرا
\(n\left( {n – 1} \right)\left( {n – 2} \right)! = n!\)
در قسمت بالا از وبلاگ تاتوره در مورد فاکتوریل بحث کردیم. اکنون در زیر قصد داریم تا فرمول استرلینگ را توضیح دهیم که با استفاده از آن میتوان اعداد فاکتوریل بزرگ را تقریب زد. البته برای مقادیر کوچک \(n\) نیز این فرمول کاربرد دارد.
فرمول استرلینگ
در جدول زیر، مقادیر \(n!\) به ازای چند مقدار \(n\) حساب شده است.
\(n\) | ۰ | ۱ | ۲ | ۳ | ۴ | ۵ | ۶ | ۷ | ۸ | ۹ | ۱۰ |
\(n!\) | ۱ | ۱ | ۲ | ۶ | ۲۴ | ۱۲۰ | ۷۲۰ | ۵۰۴۰ | ۴۰۳۲۰ | ۳۶۲۸۸۰ | ۳۶۲۸۸۰۰ |
همان طور که از جدول فوق معلوم است، \(n!\) سریعاً رشد میکند. برای مثال \({\rm{\;}}25!\)آنقدر بزرگ است که غیر قابل فهم است. زیرا: \(۲۵!\~۱/۵۵ \times {10^{25}}\)
برای بدست آوردن \(n!\) به ازای مقادیر بزرگ \(n\)، از فرمول زیر که در نظریه تحلیلی احتمال بسیار مهم است، استفاده میکنند. این فرمول در سال ۱۷۳۰ میلادی توسط جیمز استرلینک (James Stirling) (1770-1692) کشف شد و در کتاب او تحت عنوان روشهای دیفرانسیل گیری (لندن- ۱۷۳۰) به چاپ رسید. این فرمول را تحت عنوان قضیه ای بدون اثبات در زیر میآوریم.
قضیه:
وقتی \(n\) بزرگ است، \(n!\) را میتوان به وسیله فرمول \({\left( {\frac{n}{e}} \right)^n}\sqrt {2n\pi } \) تقریب زد.
فرمول استرلینگ معمولاً تقریب بسیار خوبی برای محاسبات عددی است.
توجه کنید که هر چند نسبت \(R\left( n \right) = \frac{{n!}}{{\sqrt {2n\pi } {n^n}{e^{ – n}}}}\) به ازای \(n = \infty \) (\(\infty \) را بی نهایت بخوانید) برابر یک است اما حتی برای مقادیر بسیار کوچک \(n\) نیز مقدار به عدد یک نزدیک است. جدول صفحه بعد این واقعیت را نشان میدهد.
\(R\left( n \right)\) | \({\left( {\frac{n}{e}} \right)^n}\sqrt {2n\pi } \) | \(n!\) | \(n\) |
۰٫۹۹۲ | ۱ | ۱ | |
۱٫۰۴۲ | ۱٫۹۱۹ | ۲ | ۲ |
۱٫۰۱۷ | ۱۱۸٫۰۱۹ | ۱۲۰ | ۵ |
۱٫۰۱۰ | ۳۹۹۰۲٫۳۹۶ | ۴۰۳۲۰ | ۸ |
۱٫۰۰۸ | ۳۵۹۸۶۹۵٫۶۱۸ | ۳۶۲۲۸۸۰۰ | ۱۰ |
۱٫۰۰۷ | ۴۷۵۶۷۸۴۸۶٫۴۷۴ | ۴۷۹۰۰۱۶۰۰ | ۱۲ |
مثال۵:
تقریبی برای \(\frac{{{2^{2n}}{{\left( {n!} \right)}^2}}}{{\left( {2n} \right)!}}\) وقتی \(n\) بزرگ است بدست آورید.
حل:
\(\frac{{{2^{2n}}{{\left( {n!} \right)}^2}}}{{\left( {2n} \right)!}}\≅\frac{{{2^{2n}}\;2n\pi \;{{\left( {{n^n}} \right)}^2}{e^{ – 2n}}}}{{\sqrt {4\pi } {{\left( {2n} \right)}^{2n}}{e^{ – 2n}}}} = \frac{{\sqrt {n\pi } }}{{2n}}\)
(\(\≅\) را تقریباً بخوانید)
در این قسمت با دو نمونه دیگر از زیر مجموعه های اصل شمارش یعنی فاکتوریل و فرمول استرلینگ آشنا شدید.
دیدگاهتان را بنویسید
برای نوشتن دیدگاه باید وارد بشوید.