تابع چیست؟(قسمت دوم)+دامنه و برد + نمودار + 15 مثال
آنچه در این مقاله میخوانید
Toggleمفهوم تابع در سراسر رياضيات، در تمام سطوح از اهميت فوق العاده اي برخوردار است. تلاش هاي اوليه براي پروراندن مفهوم كلي تابع تا حدي مغشوش و ناموفق بود، عمدتا به اين دليل كه سعي مي شد مطالب زيادي را يك جا بررسي كنند.
مفهوم دقيق تابع به دليل حضور دائمي اش در بحثهاي مختلف همچون حد، پيوستگي، مشتق و… از ذهن دور شده و در بيشتر موارد، مفهوم تابع و ضابطه آن با يكديگر خلط شدهاند، حال آنكه اين دو بايد به دقت از يكديگر متمايز شده و به طور دقيق آموخته شود.
اگر قسمت اول تابع را نخوانده اید لطفا ابتدا آنرا مطالعه نمایید و سپس ادامه دهید.
تابع چیست؟ 16 مثال کامل + تعاریف و قضایا (قسمت اول)
تعريف 5. 9 :
تابع \(f\) از مجموعه \({\rm{A}}\) به مجموعه \(B\;\) كه آن را با نماد رياضي \(f:A \to B\) نمايش ميدهيم، يك رابطه از \({\rm{A}}\) به \(B\) ميباشد، بطوري كه هيچ دو زوج مرتب متمايز آن، داراي مؤلفهههاي اول يكسان نباشند. مجموعههاي \(B,A\) را دامنه و هم دامنه \(f\;\) مينامند.
مثال 5. 17:
مجموعه \(\;B\; = \;\left\{ {3\;,\;4\;} \right\}\;\;\;,\;\;A = \;\left\{ {\;1\;,2\;,\;3\;,4\;} \right\}\) را در نظر بگيريد.
\(A \times B = \left\{ {\;\left( {1,3} \right),\;\left( {1,4} \right),\;\left( {2\;,3\;} \right),\left( {2,4} \right),\left( {3,3} \right),\left( {3,4} \right),\left( {4,3} \right),\left( {4,4} \right)} \right\}\)
مجموعه \(A \times B\) داراي \({2^8} = 256\) زير مجموعه است، كه هريك از اين زير مجموعهها يك رابطه از \({\rm{A}}\) به \(B\) ميباشد. مانند :
\({R_1} = \left\{ {\left( {1,3} \right),\left( {1,4\;} \right),\;\left( {2,3} \right)} \right\}\)
\({R_3} = \left\{ {\left( {2,3} \right),\left( {1,4} \right),\left( {2,4} \right)} \right\}\)
\({R_2} = \left\{ {\left( {1,4} \right),\left( {2,3} \right),\left( {4,4} \right)} \right\}\)
\({R_4} = \left\{ {\left( {2,3} \right),\left( {1,3} \right),\left( {3,4} \right)} \right\}\)
اما همه رابطههاي فوق تابع نيستند. به عنوان مثال \({R_1}\) و \({R_3}\) تابع نيستند زيرا دو زوج مرتب \(\left( {1,4} \right){\rm{\;}},{\rm{\;}}\left( {1,3} \right)\) داراي مولفه هاي اول يكسان هستند در حاليكه مؤلفهههاي دوم آنها متفاوت است. اما \({R_2}\) و \({R_4}\) تابع هستند.
مانند تعريفي كه در مورد رابطه ارائه كرديم, اگر تابع \(f\) از مجموعه \(A\;\) به خودش تعريف شده باشد، تابع\(f\;\) را تابعي در \(A\) ميخوانيم. مثلا تابع \(f\;\) در \(\mathbb{R}\) \(\left( {f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}} \right)\) يعني تابعي كه دامنه و هم دامنه آن هر دو اعداد حقيقي هستند.
يك تابع را به چند روش ميتوان نمايش داد. كه اين روشها به تفضيل آمدهاند.
الف)
بصورت مجموعهايي از زوجهای مرتب : در اين روش تابع را بصورت مجموعهاي شامل اعضاي خود (مانند آنچه تا به حال ديديم) معرفي ميكنند. البته بايد دامنه و هم دامنه را حتما مشخص كرد. مانند تابع \(f\) كه در مجموعه\(A = \left\{ {a,b,c,d,e} \right\}\;\) بصورت زير معرفي شده است. \(f = \left\{ {\left( {a,b} \right)\;,\;\left( {b,d} \right)\;,\left( {c,d} \right)\;,\;\left( {d,a} \right)} \right\}\)
ب )
با استفاده از نمودار ون : در اين روش، اعضاي مجموعههاي دامنه و هم دامنه را در شكل هاي بسته هندسي (مانند بيضي يا دايره) قرار داده و اعضايي از دامنه را كه با عضوي در هم دامنه مرتبط هستند، با پيكان به آن عضو مربوط ميكنند. مثلاً تابع معرفي شده در قسمت (الف) با نمودار ون بصورت زير مشخص ميشود.
پ)
نمايش به كمك ضابطه : به مثال زير توجه كنيد :
فرض كنيد تابع\(f\;\) از مجموعه \({\rm{A}} = \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}\) به مجموعه اعداد طبيعي، و بصورت زير تعريف شده باشد.
\(f{\rm{\;}} = {\rm{\;}}\left\{ {\left( {1,1} \right),\left( {2,4} \right),{\rm{\;}}\left( {3,9} \right),\left( {4,16} \right),\left( {5,25} \right){\rm{\;}}} \right\}{\rm{\;}}\)
چه رابطه (نظمي ) بين مولفه هاي اول و دوم همه زوج هاي مرتب \(f\) وجود دارد ؟
با كمي دقت در مي يابيم كه مولفه دوم همه زوجهاي مرتب\(\;f\) مربع مولفه اول آنها هستند. به بيان ديگر اگر \(x\) را نماينده همه مولفه هاي اول و \(y\) را نماينده همه مولفه هاي دوم زوج ها در نظر بگيريم، براي هر \(x \in A\) داريم \(y = {x^2}\) .
رابطه اخير \(\left( {\;y = {x^2}} \right)\) را ضابطه تابع \(f\) مي خوانيم.به عبارت ديگر، \(f\) تابعي است كه هر \(x\) را به \({x^2}\) تصوير مي كند و براي نمايش اين منظور يكي از سه نماد زير بكار برده مي شود.
\(f\left( x \right) = {x^2}\;\;\;,\;\;f:x \to {x^2}\;\;\;\;,\;\;y = {x^2}\)
كه البته بايد دامنه \(f\) قبلاً مشخص شده باشد، يعني با معلوم بودن دامنه \(f\) و ضابطه آن، تابع \(f\) را بصورت مجموعهاي از زوجهاي مرتب نمايش داد.
مثال 5. 18 :
اگر \(f\left( x \right) = \frac{{x – 1}}{{{x^2} + 1}}\) از مجموعه \(A = \left\{ {\;0\;,\; – 1\;,\;1\;,2\;,3\;} \right\}\) به مجموعه اعداد گويا تصوير شده باشد، آنگاه \(f\) بصورت مجموعه اي از زوجهاي مرتب بصورت زير نمايش داده ميشود.
\(f = \left\{ {\left( {0, – 1} \right),\left( { – 1, – 1} \right),\;\left( {1,0} \right),\left( {2,\frac{1}{5}} \right),\;\left( {3,\frac{1}{5}} \right)} \right\}\)
با توجه به توضيحات فوق ميتوان ضابطه تابع را بصورت زير تعريف كرد.
تعريف 5. 10:
ضابطه تابع، قانون يا رابطهاي است كه بصورت منحصر به فردي، مؤلفههاي دوم همه زوجهاي مرتب تابع را از روي مؤلفههاي اول آنها با يك قانون (تساوي) واحد بيان ميكند. اين قانون مشترك را ضابطه تابع گويند و بصورت \(y = \;f\left( x \right)\;\) مشخص ميكنند. همچنين اگر \(\left( {u = v} \right) \in f\;\;\)آنگاه \(v = f\left( u \right)\;\) .
مثال5. 19 :
در مثال قبل به ازاي \(\left( {1,0} \right) \in f\;\;,\;y = 0\;\;,\;x = 1\) يعني \(f\left( 1 \right) = 0\).
مثالا اگر \(f\) تابعي در \(\mathbb{R}\) باشد و \(f\left( x \right) = {x^2} + 3\) در اين صورت \(f\left( { – 1} \right),\;f\left( 1 \right),\;f\left( 0 \right),f\left( 4 \right)\) را به صورت زیر است.
حل :
\(f\left( 1 \right) = {\left( 1 \right)^2} + 3 = 4\;\;\;,\;f\left( { – 1} \right) = {\left( { – 1} \right)^2} + 3 = 4\)
\(f\left( 0 \right) = {\left( 0 \right)^2} + 3 = 3\;,\;f\left( 4 \right) = {\left( 4 \right)^2} + 3 = 19\)
مثال 5. 20 :
اگر \(f\left( {x + 2} \right) = {x^3}\) در اينصورت \(f\left( 2 \right)\;,\;f\left( 0 \right)\;\) را بدست آوريد.
حل :
\(x + 2 = 0 \Rightarrow x = – 2\; \Rightarrow f\left( 0 \right) = f\left( { – 2 + 2} \right) = {\left( { – 2} \right)^3} = 8\)
\(x + 2 = 2 \Rightarrow x = 0\; \Rightarrow f\left( 2 \right) = f\left( {0 + 2} \right) = {\left( 0 \right)^2} = 0\)
مثال 5. 12 :
اگر \(f\left( x \right)\;\;,\;f\left( {x + 2} \right) = {x^3}\) را مشخص كنيد.
حل :
\(x + 2 = t \Rightarrow x = t – 2\; \Rightarrow f\left( t \right) = {\left( {t – 2} \right)^3} \Rightarrow f\left( x \right) = {\left( {x – 2} \right)^3}\)
دامنه و برد تابع
تعريف 5. 11:
مجموعه مؤلفههاي اول اعضاي \(f\) را دامنه تعريف ( يا به طور خلاصه دامنه) ، و مجموعههاي مؤلفههاي دوم اعضاي \(f\) را برد تابع گويند. دامنه يك تابع مانند \(f\;\) را با \({D_f}\) و برد آن را با \({R_f}\) نشان ميدهند. در نتيجه :
\({D_f} = \{ x\left| {\left( {x,y} \right) \in f\} \;\;\;\;\;\;,\;{R_f} = \left\{ {\left. y \right|\left( {x,y} \right) \in f} \right\}} \right.\)
در صوتيكه \(f\) زير مجموعهاي از حاصل ضرب دكارتي \(A \times B\) باشد، داریم :
\({D_f} \subseteq A\;\;\;,\;{R_f} \subseteq B\)
مثال 5. 22:
اگر \(B = \left\{ { – 2, – 1,3,5} \right\},\;A = \left\{ {\;1,3,5\;,7,9\;} \right\}\) و
\(f = \left\{ {\left( {1, – 1\;} \right),\;\left( {3,3} \right),\;\left( {7, – 1} \right),\;\left( {5,3} \right)} \right\}\)
در اينصورت :
\({D_f} = \left\{ {\;1\;,3\;,5\;,7\;} \right\}\) , \({R_f} = \left\{ { – 1,3} \right\}\)
مثال 5. 23 :
دامنه تعريف \(g\left( x \right) = \sqrt[3]{{x + 1}}\;\;,\;\;f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} \) را تعيين كنيد.
حل : چون عبارت زير راديكال با فرجه زوج بايد مثبت باشد، بنابراين
\({D_f} = \{ x\left| {x + 1 \ge 0\} = \{ x\left| {x \ge – 1\} = \left[ { – 1\;, + \infty } \right)} \right.} \right.\)
چون معنادار بودن عبارت زير راديكال با فرجه فرد، به معنادار بودن خود عبارت زير راديكال بر مي گردد بنابراين : \({D_g} = \{ x\left| {({x^2} – 1) \in \mathbb{R}\} = \mathbb{R}} \right.\) در حالت كلي :
\(u\left( x \right) = \sqrt[{2n}]{{h\left( x \right)}}\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {n \in \mathbb{N}} \right)\;\;\;\;\;\; \Rightarrow \;\;{D_u} = h\left( x \right) \ge 0\)
\(v\left( x \right) = \sqrt[{2n + 1}]{{p\left( x \right)}}\;\;\;\;\;\left( {n \in \mathbb{N}} \right)\;\;\;\;\;\; \Rightarrow \;{D_v} = {D_p}\)
اعمال جبري روي توابع
دو تابع \(g\;,f\) داده شدهاند. فرض كنيد كه \({\rm{D}}\) بزرگترين مجموعهاي باشد كه هر دو تابع \(g\;,f\) بر آن تعريف شده اند، به عبارت ديگر \({\rm{D}}\) دامنه مشترك\(g\;,f\;\) باشد. در اینصورت، منظور از \(f + g\) يعني تابعي كه مقدارش در هر نقطه \(x\) در\(D\) ، مجموع مقدار\(f\;\) در \(x\) و مقدار \(g\) در \(x\) است. به طور دقيق تر، به ازاي هر \(x\;\) در\(D\;\) :
\(\left( {f + g} \right)\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right)\)
اعمال جبري ديگر بر \(g\;,f\;\) به همين نحو تعريف مي شوند. يعني:
\(\left( {cf} \right)\left( x \right) = cf\left( x \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;c \in \mathbb{R}\)
\(\left( {f – g} \right)\left( x \right) = f\left( x \right) – g\left( x \right)\)
\(\left( {fg} \right)\left( x \right) = f\left( x \right).g\left( x \right)\)
\(\left( {\frac{f}{g}} \right)\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\forall x \in D\;\;\;g\left( x \right) \ne 0\)
همان طور كه گفته شد در اعمال جبري روي توابع ابتدا بايد \(D\) يا همان دامنه مشترك را كه بصورت زير تعريف مي شود، مشخص كرد.
\({D_{f + g}} = {D_{f – g}} = {D_{f.g}} = {D_f} \cap {D_g}\)
\({D_{\frac{f}{g}}} = \left( {{D_f} \cap {D_g}} \right) – \{ x\left| {g\left( x \right) = 0\} } \right.\)
مثال 5. 24:
اگر \(f = \left\{ {\;\left( {1,2} \right)\;,\left( { – 1\;,3} \right)\;,\;\left( {0,4} \right)\;,\left( {5\;,1} \right)} \right\}\;\) و
\(g = \left\{ {\left( {\;1,3} \right)\;\left( { – 1,4} \right)\;,\;\left( {5,0} \right)\;,\left( {3, – 1} \right)} \right\}\) باشد، هريك از توابع \(f.g\;,\;f \pm g\;,\;\frac{f}{g}\;\) را بدست آوريد.
حل :
\({D_f} = \left\{ {1, – 1,0,5} \right\}\;\;\;,\;{D_g} = \left\{ {{\rm{\;}}1, – 1{\rm{\;}},5,3} \right\}\)
\({D_{f \pm g}} = {D_{f.g}} = \left\{ { – 1,1,5} \right\}\)
\(f\left( 1 \right) = 2\;\;\;,\;g\left( 1 \right) = 3\;\;\; \Rightarrow \left( {f + g} \right)\left( 1 \right) = 2 + 3 = 5\)
\(f\left( { – 1} \right) = 3\;,\;g\left( { – 1} \right) = 4\;\; \Rightarrow \left( {f + g} \right)\left( { – 1} \right) = 3 + 4 = 7\)
\(f\left( 5 \right) = 1\;,\;g\left( 5 \right) = 0 \Rightarrow \left( {f + g} \right)\left( 5 \right) = 1 + 0 = 1\)
\(\left( {f + g} \right) = \left\{ {\left( {1,5} \right),\left( { – 1,7} \right),\left( {5,1} \right)} \right\}\)
به همين ترتيب
\(\left( {f – g} \right) = \left\{ {\left( {1, – 1} \right),\left( { – 1, – 1} \right),\left( {5,1} \right)} \right\}\)
\(\left( {f.g} \right) = \left\{ {\left( {1,6} \right),\left( { – 1,12} \right),\left( {5,0} \right)} \right\}\)
\({D_{\frac{f}{g}}} = \left( {{D_f} \cap {D_g}} \right) – \{ x\left| {g\left( x \right) = 0\} = \left\{ { – 1,1,5} \right\} – \left\{ 5 \right\} = \left\{ { – 1,1} \right\}} \right.\)
\(\left( {\frac{f}{g}} \right)\left( { – 1} \right) = \frac{{f\left( { – 1} \right)}}{{g\left( { – 1} \right)}} = \frac{3}{4}\;\;,\;\left( {\frac{f}{g}} \right)\left( 1 \right) = \frac{{f\left( 1 \right)}}{{g\left( 1 \right)}} = \frac{2}{3}\)
\[f/g = \left\{ {\left( {1,2/3} \right),\left( { – 1{\rm{ }},3 / 4} \right)} \right\}\]
مثال 5. 25:
اگر \(f\left( x \right) = \sqrt {x – 1} \;\;,\;g\left( x \right) = \frac{1}{{x + 1}}\) ، در اين صورت \(f.g\;\;,\;f \pm g\) را در نقطه \(x = 2\;\) بدست آوريد.
\(\;f\left( x \right) = \sqrt {x – 1} \;\; \Rightarrow {D_f} = \{ x\left| {x – 1 \ge 0\} \; \Rightarrow {D_f} = \{ x\left| {x \ge 1\} = \left[ {1, + \infty } \right)} \right.} \right.\)
\(g\left( x \right) = \frac{1}{{x + 1}}\; \Rightarrow {D_g} = \{ x\left| {x + 1 \ne 0\} \; \Rightarrow {D_g} = \mathbb{R} – \left\{ { – 1} \right\}} \right.\)
\({D_{f \pm g}} = {D_{f.g}} = {D_f} \cap {D_g} = \left[ {1,, + \infty } \right) \cap {\rm{(}}\mathbb{R}—\left\{ { – 1} \right\}{\rm{\} }} = \left[ {1, + \infty } \right)\)
چون \(x = 2\;\) در قلمرو مشترك است، لذا :
\(\left( {f + g} \right)\left( 2 \right) = f\left( 2 \right) + g\left( 2 \right) = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\)
\(\left( {f – g} \right)\left( 2 \right) = f\left( 2 \right) – g\left( 2 \right) = 1 – \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)
\(\left( {f.g} \right)\left( 2 \right) = f\left( 2 \right).g\left( 2 \right) = 1 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\)
\({D_{\frac{f}{g}}} = \left( {{D_f} \cap {D_g}} \right) – \{ x\left| {g\left( x \right) = 0\} } \right.\)
\(\frac{1}{{x + 1}} \ne 0\; \Rightarrow 1 \ne 0\; \Rightarrow \{ x\left| {g\left( x \right) = 0\} = \emptyset \; \Rightarrow } \right.\)
\({D_{\frac{f}{g}}} = \left[ {1, + \infty } \right) – \emptyset = \left[ {1, + \infty } \right)\; \Rightarrow \left( {\frac{f}{g}} \right)\left( 2 \right) = \frac{{f\left( 2 \right)}}{{g\left( 2 \right)}} = 3\)
توابع مركب
تركيب توابع دقيقاً مانند تركيب رابطههاست كه قبلا توضيح داده شد. بطوري كه اگر \(g\;,f\) دو تابع مفروض باشند، در اينصورت تركيب \(f\left( x \right)\) با \(g\left( x \right)\) بصورت \(fog\left( x \right)\) نشان داده مي شود و این چنین تعريف ميگردد:
\(fog\left( x \right)\; = f\left( {g\left( x \right)} \right)\)
و برعكس، تركيب \(g\left( x \right)\) با \(f\left( x \right)\) بصورت \(gof\left( x \right)\) نشان داده ميشود و بصورت
\(gof\left( x \right) = g\left( {f\left( x \right)} \right)\) تعريف ميگردد.
در واقع ميتوان گفت كه كار تابع مركب \(fog\;\) آن است كه اگر تابع \(g\) ، مقدار معين \(x = a\) از دامنه تعريف خود را به \(g\left( a \right) = b\) تصويركند و \(b\) متعلق به دامنه تعريف \(f\) باشد و \(\;f\) و \(b\) را به \(f\left( b \right)\; = c\) تصوير نمايد. اين تابع مركب \(fog\) است كه \(a\;\) را مستقيماً به\(\;c\;\) تصوير ميكند.
با این تعريف مي توان دامنه تعريف \(fog\;\) را نيز به درستي تعريف كرد.
\({D_{fog}} = \left\{ {x{\rm{|}}x \in {D_{g\;}},\;\;g\left( x \right) \in {D_f}} \right\}{\rm{\;\;\;}}\)
به همين ترتيب داريم :
\(\;{D_{gof}} = \left\{ {x{\rm{|}}x \in {D_f}\;\;,\;f\left( x \right) \in {D_g}} \right\}\;\;\;\;\;\)
مثال 5. 26 :
اگر \(f = \left\{ {\;\left( {1,\;2} \right),\;\left( {2, – 1\;} \right),\left( { – 1,0} \right),\left( {0,1} \right),\left( {4,3} \right)} \right\}\) و
\(\;g = \left\{ {\left( {1,3} \right),\left( {0,2} \right),\left( { – 1,4} \right),\left( {3,2} \right),\left( {2, – 1} \right)} \right\}\;\;\)
در اين صورت \(gof\;\;\;,\;fog\;\;\;\;\;,\;{D_{gof}}\;\;\;,\;{D_{fog}}\) را بدست آوريد.
حل :
\({D_f} = \left\{ {1,2, – 1,0,4} \right\}\)
\(f\left( 1 \right) = 2\;\;,\;2 \in \;{D_g},1 \in {D_{gof}}\;\;\;,\;\;\;f\left( 2 \right) = – 1\;, – 1\; \in {D_g}\; \Rightarrow 2 \in {D_{go}}f\)
\(f = 0\;\;\;\;,\;0 \in {D_g}\; \Rightarrow – 1 \in {D_{gof}},f\left( 0 \right) = 1,1 \in {D_g}\; \Rightarrow 0 \in {D_{go}}f\)
\(f\left( 4 \right) = 3\;\;,\;3 \in {D_g}\; \Rightarrow 4 \in {D_{go}}f\)
بنابراين :
\({D_{gof}} = \left\{ {1,2, – 1,0,4} \right\}\)
\(gof = \left\{ {\left( {1, – 1} \right),\left( {2,4} \right),\left( { – 1,2} \right),\left( {0,3} \right),\left( {4,2} \right)} \right\}\)
به همين ترتيب
\({D_{fog}} = \left\{ {0, – 1,2,3} \right\}\)
\(fog = \left\{ {\left( {0, – 1} \right),\left( { – 1,3} \right),\left( {2,0} \right),\left( {3, – 1} \right)} \right\}\)
مثال5. 27:
فرض كنيد \(g\left( x \right) = \sqrt {x\;} {\rm{\;\;}},\;\;\;f\left( x \right) = \frac{1}{x}\) در اينصورت \(gof\;\;\;\;,\;{D_{gof}}\;\;\;\;,\;fog\;\;,\;{D_{fog}}\) را بدست آوريد.
حل :
\({D_f} = \mathbb{R} – \left\{ 0 \right\}\;\;\;\;\;,\;\;\;\;{D_g} = \left[ {0, + \infty } \right)\)
\({D_{fog}} = \{ x\left| {x \in {D_g}\;\;,\;g\left( x \right) \in {D_f}\} = \{ x\left| {x \in \left[ {0, + \infty } \right),\sqrt x \in \mathbb{R} – \left\{ 0 \right\}\} } \right.} \right.\)
\(\sqrt x \in \mathbb{R} – \left\{ 0 \right\} \Rightarrow x \ge 0,\;x \ne 0\; \Rightarrow x \in \left( {0, + \infty } \right)\)
\({D_{fog}} = \left[ {0, + \infty } \right) \cap \left( {0, + \infty } \right) = \left( {0, + \infty } \right)\)
\(fog\left( x \right) = f\left( {g\left( x \right)} \right) = f\left( {\sqrt x } \right) = \frac{1}{{\sqrt x }}\)
\({D_{gof}} = \left\{ {x{\rm{|}}x \in {D_f}\;\;,\;f\left( x \right) \in {D_g}} \right\} = \{ x|x \in \mathbb{R} – \left\{ 0 \right\},\frac{1}{x} \in \left[ {0, + \infty } \right)\} \)
\(\frac{1}{x} \in \left[ {0, + \infty } \right) \Rightarrow \frac{1}{x} \ge 0,x \ne 0\; \Rightarrow \frac{1}{x} > 0\; \Rightarrow x > 0\)
\(\; \Rightarrow {D_{gof}} = \left( {\mathbb{R} – \left\{ 0 \right\}} \right) \cap \left( {0, + \infty } \right) = \left( {0, + \infty } \right)\)
\(gof\left( x \right) = g\left( {f\left( x \right)} \right) = g\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{1}{{\sqrt x }}\)
نمودار تابع
اكنون آمادهايم كه به بررسي نمايش تصويري توابع بپردازيم .
تعريف 5. 12 :
نمودار تابع \(y = \;f\left( x \right)\)، شكل هندسي در صفحه \(xoy\;\) است كه از رسم تمام نقاط \(\left( {x,y} \right)\) كه ( مختصات انها) در فرمول \(y\; = f\left( x \right)\) ، صدق ميكنند بدست ميآيد.
لازم به ذكر است كه متغير \(x\) را متغير مستقل و متغير y را متغير وابسته ميگويند.
مثال 5. 28:
نمودار \(f = \left\{ {\left( {1,1} \right),\left( {2,3} \right),\;\left( { – 1,0} \right),\left( {0,0} \right)} \right\}\) را در يك دستگاه مختصات رسم كنيد.
مثال 5. 29 :
نمودار تابع با ضابطه \(f\left( x \right) = 3x – 1\) را در يك صفحه مختصات رسم كنيد.
حل : مطابق آنچه كه مي دانيم، معادله \(y = 3x – 1\) معادله خط راستي است با شيب 3 و عرض از مبدا 1- و به كمك دو نقطه دلخواه از آن، قابل رسم است.
روش عمومي براي رسم نمودار توابع، نقطه يابي است، يعني با دادن مقادير مختلف به \(x\) (متغير مستقل) \(y\) ها (متغير وابسته) نظير را بدست آورده، و با داشتن نقاط متعددي از منحني و وصل كردن اين نقاط به يكديگر، نمودار تابع را رسم مي كنيم. براي مثال رسم منحني تابع \(y = \left| x \right|\) ( تابع قدر مطلق ) به كمك اين روش بصورت زير است.
2 |
1 |
0 |
-1 |
-2 |
\(x\) |
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
\(y\) |
\(\left| x \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \ge 0}\\{ – x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x < 0}\end{array}\; \Rightarrow \;} \right.\)
ويژگيهاي مهم نمودار تابع
با توجه به تعريف نمودار تابع و شرط تابع بودن يك رابطه، بسادگي نتيجه مي شود كه هر خط راست موازي محور \(y\;\)ها (عرضها) نمودار تابع را حداكثر در يك نقطه قطع مي كند زيرا هرگاه خط قائم \(x = c\) نمودار \(y = f\left( x \right)\) را در دو يا چند نقطه قطع كند، آنگاه دو يا چند مقدار از \(y\) ، يعني عرضهاي اين نقاط، نظير يك مقدار از \(x\) ، يعني \(c\)اند و اين با تعريف تابع در تناقض است. به عنوان مثال، نمودارهاي زير نمي توانند نمودار يك تابع باشند.
ولي نمودارهاي زير نمودار يك تابع هستند.
تساوي دو تابع
تعريف5. 13:
دو تابع مفروض \(g\;,f\) را مساوي گويند هرگاه، اولاً \({D_f} = {D_g}\) و ثانياً
\(\forall x \in \left( {{D_f} = {D_g}} \right)\) داشته باشيم: \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) .
مثال :
آيا دو تابع \(g\left( x \right) = 1\;\;\;,\;f\left( x \right) = \frac{x}{x}\) برابرند ؟
حل : خیر زیرا:
\({D_f} = \mathbb{R} – \left\{ 0 \right\}\;,\;{D_g} = \mathbb{R}\; \Rightarrow {D_f} \ne {D_g}\)
مثال5 . 30:
آيا تابعهاي \(g\;,f\) با ضابطههاي \({\rm{\;\;\;}}g\left( x \right) = \sqrt x \;,\;\;\;\;\;f\left( x \right) = x\) برابرند؟
حل : خير زيرا
\({D_f} = \mathbb{R}\;\;,\;{D_g} = \left[ {0, + \infty } \right)\;\; \Rightarrow {D_f} \ne {D_g}\)
در قسمت های بعدی به موارد بیشتری از تابع می پردازیم.
همچنین می توانید مقاله 50 مثال حل شده از اصل شمارش را نیز در صورت تمایل نگاهی بیاندازید.
تعريف 5. 9 :
تابع \(f\) از مجموعه \({\rm{A}}\) به مجموعه \(B\;\) كه آن را با نماد رياضي \(f:A \to B\) نمايش ميدهيم، يك رابطه از \({\rm{A}}\) به \(B\) ميباشد، بطوري كه هيچ دو زوج مرتب متمايز آن، داراي مؤلفهههاي اول يكسان نباشند. مجموعههاي \(B,A\) را دامنه و هم دامنه \(f\;\) مينامند.
مثال 5. 17:
مجموعه \(\;B\; = \;\left\{ {3\;,\;4\;} \right\}\;\;\;,\;\;A = \;\left\{ {\;1\;,2\;,\;3\;,4\;} \right\}\) را در نظر بگيريد.
\(A \times B = \left\{ {\;\left( {1,3} \right),\;\left( {1,4} \right),\;\left( {2\;,3\;} \right),\left( {2,4} \right),\left( {3,3} \right),\left( {3,4} \right),\left( {4,3} \right),\left( {4,4} \right)} \right\}\)
مجموعه \(A \times B\) داراي \({2^8} = 256\) زير مجموعه است، كه هريك از اين زير مجموعهها يك رابطه از \({\rm{A}}\) به \(B\) ميباشد. مانند :
\({R_1} = \left\{ {\left( {1,3} \right),\left( {1,4\;} \right),\;\left( {2,3} \right)} \right\}\)
\({R_3} = \left\{ {\left( {2,3} \right),\left( {1,4} \right),\left( {2,4} \right)} \right\}\)
\({R_2} = \left\{ {\left( {1,4} \right),\left( {2,3} \right),\left( {4,4} \right)} \right\}\)
\({R_4} = \left\{ {\left( {2,3} \right),\left( {1,3} \right),\left( {3,4} \right)} \right\}\)
اما همه رابطههاي فوق تابع نيستند. به عنوان مثال \({R_1}\) و \({R_3}\) تابع نيستند زيرا دو زوج مرتب \(\left( {1,4} \right){\rm{\;}},{\rm{\;}}\left( {1,3} \right)\) داراي مولفه هاي اول يكسان هستند در حاليكه مؤلفهههاي دوم آنها متفاوت است. اما \({R_2}\) و \({R_4}\) تابع هستند.
مانند تعريفي كه در مورد رابطه ارائه كرديم, اگر تابع \(f\) از مجموعه \(A\;\) به خودش تعريف شده باشد، تابع\(f\;\) را تابعي در \(A\) ميخوانيم. مثلا تابع \(f\;\) در \(\mathbb{R}\) \(\left( {f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}} \right)\) يعني تابعي كه دامنه و هم دامنه آن هر دو اعداد حقيقي هستند.
يك تابع را به چند روش ميتوان نمايش داد. كه اين روشها به تفضيل آمدهاند.
الف)
بصورت مجموعهايي از زوجهای مرتب : در اين روش تابع را بصورت مجموعهاي شامل اعضاي خود (مانند آنچه تا به حال ديديم) معرفي ميكنند. البته بايد دامنه و هم دامنه را حتما مشخص كرد. مانند تابع \(f\) كه در مجموعه\(A = \left\{ {a,b,c,d,e} \right\}\;\) بصورت زير معرفي شده است. \(f = \left\{ {\left( {a,b} \right)\;,\;\left( {b,d} \right)\;,\left( {c,d} \right)\;,\;\left( {d,a} \right)} \right\}\)
ب )
با استفاده از نمودار ون : در اين روش، اعضاي مجموعههاي دامنه و هم دامنه را در شكل هاي بسته هندسي (مانند بيضي يا دايره) قرار داده و اعضايي از دامنه را كه با عضوي در هم دامنه مرتبط هستند، با پيكان به آن عضو مربوط ميكنند. مثلاً تابع معرفي شده در قسمت (الف) با نمودار ون بصورت زير مشخص ميشود.
پ)
نمايش به كمك ضابطه : به مثال زير توجه كنيد :
فرض كنيد تابع\(f\;\) از مجموعه \({\rm{A}} = \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}\) به مجموعه اعداد طبيعي، و بصورت زير تعريف شده باشد.
\(f{\rm{\;}} = {\rm{\;}}\left\{ {\left( {1,1} \right),\left( {2,4} \right),{\rm{\;}}\left( {3,9} \right),\left( {4,16} \right),\left( {5,25} \right){\rm{\;}}} \right\}{\rm{\;}}\)
چه رابطه (نظمي ) بين مولفه هاي اول و دوم همه زوج هاي مرتب \(f\) وجود دارد ؟
با كمي دقت در مي يابيم كه مولفه دوم همه زوجهاي مرتب\(\;f\) مربع مولفه اول آنها هستند. به بيان ديگر اگر \(x\) را نماينده همه مولفه هاي اول و \(y\) را نماينده همه مولفه هاي دوم زوج ها در نظر بگيريم، براي هر \(x \in A\) داريم \(y = {x^2}\) .
رابطه اخير \(\left( {\;y = {x^2}} \right)\) را ضابطه تابع \(f\) مي خوانيم.به عبارت ديگر، \(f\) تابعي است كه هر \(x\) را به \({x^2}\) تصوير مي كند و براي نمايش اين منظور يكي از سه نماد زير بكار برده مي شود.
\(f\left( x \right) = {x^2}\;\;\;,\;\;f:x \to {x^2}\;\;\;\;,\;\;y = {x^2}\)
كه البته بايد دامنه \(f\) قبلاً مشخص شده باشد، يعني با معلوم بودن دامنه \(f\) و ضابطه آن، تابع \(f\) را بصورت مجموعهاي از زوجهاي مرتب نمايش داد.
مثال 5. 18 :
اگر \(f\left( x \right) = \frac{{x – 1}}{{{x^2} + 1}}\) از مجموعه \(A = \left\{ {\;0\;,\; – 1\;,\;1\;,2\;,3\;} \right\}\) به مجموعه اعداد گويا تصوير شده باشد، آنگاه \(f\) بصورت مجموعه اي از زوجهاي مرتب بصورت زير نمايش داده ميشود.
\(f = \left\{ {\left( {0, – 1} \right),\left( { – 1, – 1} \right),\;\left( {1,0} \right),\left( {2,\frac{1}{5}} \right),\;\left( {3,\frac{1}{5}} \right)} \right\}\)
با توجه به توضيحات فوق ميتوان ضابطه تابع را بصورت زير تعريف كرد.
تعريف 5. 10:
ضابطه تابع، قانون يا رابطهاي است كه بصورت منحصر به فردي، مؤلفههاي دوم همه زوجهاي مرتب تابع را از روي مؤلفههاي اول آنها با يك قانون (تساوي) واحد بيان ميكند. اين قانون مشترك را ضابطه تابع گويند و بصورت \(y = \;f\left( x \right)\;\) مشخص ميكنند. همچنين اگر \(\left( {u = v} \right) \in f\;\;\)آنگاه \(v = f\left( u \right)\;\) .
مثال5. 19 :
در مثال قبل به ازاي \(\left( {1,0} \right) \in f\;\;,\;y = 0\;\;,\;x = 1\) يعني \(f\left( 1 \right) = 0\).
مثالا اگر \(f\) تابعي در \(\mathbb{R}\) باشد و \(f\left( x \right) = {x^2} + 3\) در اين صورت \(f\left( { – 1} \right),\;f\left( 1 \right),\;f\left( 0 \right),f\left( 4 \right)\) را به صورت زیر است.
حل :
\(f\left( 1 \right) = {\left( 1 \right)^2} + 3 = 4\;\;\;,\;f\left( { – 1} \right) = {\left( { – 1} \right)^2} + 3 = 4\)
\(f\left( 0 \right) = {\left( 0 \right)^2} + 3 = 3\;,\;f\left( 4 \right) = {\left( 4 \right)^2} + 3 = 19\)
مثال 5. 20 :
اگر \(f\left( {x + 2} \right) = {x^3}\) در اينصورت \(f\left( 2 \right)\;,\;f\left( 0 \right)\;\) را بدست آوريد.
حل :
\(x + 2 = 0 \Rightarrow x = – 2\; \Rightarrow f\left( 0 \right) = f\left( { – 2 + 2} \right) = {\left( { – 2} \right)^3} = 8\)
\(x + 2 = 2 \Rightarrow x = 0\; \Rightarrow f\left( 2 \right) = f\left( {0 + 2} \right) = {\left( 0 \right)^2} = 0\)
مثال 5. 12 :
اگر \(f\left( x \right)\;\;,\;f\left( {x + 2} \right) = {x^3}\) را مشخص كنيد.
حل :
\(x + 2 = t \Rightarrow x = t – 2\; \Rightarrow f\left( t \right) = {\left( {t – 2} \right)^3} \Rightarrow f\left( x \right) = {\left( {x – 2} \right)^3}\)
دامنه و برد تابع
تعريف 5. 11:
مجموعه مؤلفههاي اول اعضاي \(f\) را دامنه تعريف ( يا به طور خلاصه دامنه) ، و مجموعههاي مؤلفههاي دوم اعضاي \(f\) را برد تابع گويند. دامنه يك تابع مانند \(f\;\) را با \({D_f}\) و برد آن را با \({R_f}\) نشان ميدهند. در نتيجه :
\({D_f} = \{ x\left| {\left( {x,y} \right) \in f\} \;\;\;\;\;\;,\;{R_f} = \left\{ {\left. y \right|\left( {x,y} \right) \in f} \right\}} \right.\)
در صوتيكه \(f\) زير مجموعهاي از حاصل ضرب دكارتي \(A \times B\) باشد، داریم :
\({D_f} \subseteq A\;\;\;,\;{R_f} \subseteq B\)
مثال 5. 22:
اگر \(B = \left\{ { – 2, – 1,3,5} \right\},\;A = \left\{ {\;1,3,5\;,7,9\;} \right\}\) و
\(f = \left\{ {\left( {1, – 1\;} \right),\;\left( {3,3} \right),\;\left( {7, – 1} \right),\;\left( {5,3} \right)} \right\}\)
در اينصورت :
\({D_f} = \left\{ {\;1\;,3\;,5\;,7\;} \right\}\) , \({R_f} = \left\{ { – 1,3} \right\}\)
مثال 5. 23 :
دامنه تعريف \(g\left( x \right) = \sqrt[3]{{x + 1}}\;\;,\;\;f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} \) را تعيين كنيد.
حل : چون عبارت زير راديكال با فرجه زوج بايد مثبت باشد، بنابراين
\({D_f} = \{ x\left| {x + 1 \ge 0\} = \{ x\left| {x \ge – 1\} = \left[ { – 1\;, + \infty } \right)} \right.} \right.\)
چون معنادار بودن عبارت زير راديكال با فرجه فرد، به معنادار بودن خود عبارت زير راديكال بر مي گردد بنابراين : \({D_g} = \{ x\left| {({x^2} – 1) \in \mathbb{R}\} = \mathbb{R}} \right.\) در حالت كلي :
\(u\left( x \right) = \sqrt[{2n}]{{h\left( x \right)}}\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {n \in \mathbb{N}} \right)\;\;\;\;\;\; \Rightarrow \;\;{D_u} = h\left( x \right) \ge 0\)
\(v\left( x \right) = \sqrt[{2n + 1}]{{p\left( x \right)}}\;\;\;\;\;\left( {n \in \mathbb{N}} \right)\;\;\;\;\;\; \Rightarrow \;{D_v} = {D_p}\)
اعمال جبري روي توابع
دو تابع \(g\;,f\) داده شدهاند. فرض كنيد كه \({\rm{D}}\) بزرگترين مجموعهاي باشد كه هر دو تابع \(g\;,f\) بر آن تعريف شده اند، به عبارت ديگر \({\rm{D}}\) دامنه مشترك\(g\;,f\;\) باشد. در اینصورت، منظور از \(f + g\) يعني تابعي كه مقدارش در هر نقطه \(x\) در\(D\) ، مجموع مقدار\(f\;\) در \(x\) و مقدار \(g\) در \(x\) است. به طور دقيق تر، به ازاي هر \(x\;\) در\(D\;\) :
\(\left( {f + g} \right)\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right)\)
اعمال جبري ديگر بر \(g\;,f\;\) به همين نحو تعريف مي شوند. يعني:
\(\left( {cf} \right)\left( x \right) = cf\left( x \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;c \in \mathbb{R}\)
\(\left( {f – g} \right)\left( x \right) = f\left( x \right) – g\left( x \right)\)
\(\left( {fg} \right)\left( x \right) = f\left( x \right).g\left( x \right)\)
\(\left( {\frac{f}{g}} \right)\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\forall x \in D\;\;\;g\left( x \right) \ne 0\)
همان طور كه گفته شد در اعمال جبري روي توابع ابتدا بايد \(D\) يا همان دامنه مشترك را كه بصورت زير تعريف مي شود، مشخص كرد.
\({D_{f + g}} = {D_{f – g}} = {D_{f.g}} = {D_f} \cap {D_g}\)
\({D_{\frac{f}{g}}} = \left( {{D_f} \cap {D_g}} \right) – \{ x\left| {g\left( x \right) = 0\} } \right.\)
مثال 5. 24:
اگر \(f = \left\{ {\;\left( {1,2} \right)\;,\left( { – 1\;,3} \right)\;,\;\left( {0,4} \right)\;,\left( {5\;,1} \right)} \right\}\;\) و
\(g = \left\{ {\left( {\;1,3} \right)\;\left( { – 1,4} \right)\;,\;\left( {5,0} \right)\;,\left( {3, – 1} \right)} \right\}\) باشد، هريك از توابع \(f.g\;,\;f \pm g\;,\;\frac{f}{g}\;\) را بدست آوريد.
حل :
\({D_f} = \left\{ {1, – 1,0,5} \right\}\;\;\;,\;{D_g} = \left\{ {{\rm{\;}}1, – 1{\rm{\;}},5,3} \right\}\)
\({D_{f \pm g}} = {D_{f.g}} = \left\{ { – 1,1,5} \right\}\)
\(f\left( 1 \right) = 2\;\;\;,\;g\left( 1 \right) = 3\;\;\; \Rightarrow \left( {f + g} \right)\left( 1 \right) = 2 + 3 = 5\)
\(f\left( { – 1} \right) = 3\;,\;g\left( { – 1} \right) = 4\;\; \Rightarrow \left( {f + g} \right)\left( { – 1} \right) = 3 + 4 = 7\)
\(f\left( 5 \right) = 1\;,\;g\left( 5 \right) = 0 \Rightarrow \left( {f + g} \right)\left( 5 \right) = 1 + 0 = 1\)
\(\left( {f + g} \right) = \left\{ {\left( {1,5} \right),\left( { – 1,7} \right),\left( {5,1} \right)} \right\}\)
به همين ترتيب
\(\left( {f – g} \right) = \left\{ {\left( {1, – 1} \right),\left( { – 1, – 1} \right),\left( {5,1} \right)} \right\}\)
\(\left( {f.g} \right) = \left\{ {\left( {1,6} \right),\left( { – 1,12} \right),\left( {5,0} \right)} \right\}\)
\({D_{\frac{f}{g}}} = \left( {{D_f} \cap {D_g}} \right) – \{ x\left| {g\left( x \right) = 0\} = \left\{ { – 1,1,5} \right\} – \left\{ 5 \right\} = \left\{ { – 1,1} \right\}} \right.\)
\(\left( {\frac{f}{g}} \right)\left( { – 1} \right) = \frac{{f\left( { – 1} \right)}}{{g\left( { – 1} \right)}} = \frac{3}{4}\;\;,\;\left( {\frac{f}{g}} \right)\left( 1 \right) = \frac{{f\left( 1 \right)}}{{g\left( 1 \right)}} = \frac{2}{3}\)
\[f/g = \left\{ {\left( {1,2/3} \right),\left( { – 1{\rm{ }},3 / 4} \right)} \right\}\]
مثال 5. 25:
اگر \(f\left( x \right) = \sqrt {x – 1} \;\;,\;g\left( x \right) = \frac{1}{{x + 1}}\) ، در اين صورت \(f.g\;\;,\;f \pm g\) را در نقطه \(x = 2\;\) بدست آوريد.
\(\;f\left( x \right) = \sqrt {x – 1} \;\; \Rightarrow {D_f} = \{ x\left| {x – 1 \ge 0\} \; \Rightarrow {D_f} = \{ x\left| {x \ge 1\} = \left[ {1, + \infty } \right)} \right.} \right.\)
\(g\left( x \right) = \frac{1}{{x + 1}}\; \Rightarrow {D_g} = \{ x\left| {x + 1 \ne 0\} \; \Rightarrow {D_g} = \mathbb{R} – \left\{ { – 1} \right\}} \right.\)
\({D_{f \pm g}} = {D_{f.g}} = {D_f} \cap {D_g} = \left[ {1,, + \infty } \right) \cap {\rm{(}}\mathbb{R}—\left\{ { – 1} \right\}{\rm{\} }} = \left[ {1, + \infty } \right)\)
چون \(x = 2\;\) در قلمرو مشترك است، لذا :
\(\left( {f + g} \right)\left( 2 \right) = f\left( 2 \right) + g\left( 2 \right) = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\)
\(\left( {f – g} \right)\left( 2 \right) = f\left( 2 \right) – g\left( 2 \right) = 1 – \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)
\(\left( {f.g} \right)\left( 2 \right) = f\left( 2 \right).g\left( 2 \right) = 1 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\)
\({D_{\frac{f}{g}}} = \left( {{D_f} \cap {D_g}} \right) – \{ x\left| {g\left( x \right) = 0\} } \right.\)
\(\frac{1}{{x + 1}} \ne 0\; \Rightarrow 1 \ne 0\; \Rightarrow \{ x\left| {g\left( x \right) = 0\} = \emptyset \; \Rightarrow } \right.\)
\({D_{\frac{f}{g}}} = \left[ {1, + \infty } \right) – \emptyset = \left[ {1, + \infty } \right)\; \Rightarrow \left( {\frac{f}{g}} \right)\left( 2 \right) = \frac{{f\left( 2 \right)}}{{g\left( 2 \right)}} = 3\)
توابع مركب
تركيب توابع دقيقاً مانند تركيب رابطههاست كه قبلا توضيح داده شد. بطوري كه اگر \(g\;,f\) دو تابع مفروض باشند، در اينصورت تركيب \(f\left( x \right)\) با \(g\left( x \right)\) بصورت \(fog\left( x \right)\) نشان داده مي شود و این چنین تعريف ميگردد:
\(fog\left( x \right)\; = f\left( {g\left( x \right)} \right)\)
و برعكس، تركيب \(g\left( x \right)\) با \(f\left( x \right)\) بصورت \(gof\left( x \right)\) نشان داده ميشود و بصورت
\(gof\left( x \right) = g\left( {f\left( x \right)} \right)\) تعريف ميگردد.
در واقع ميتوان گفت كه كار تابع مركب \(fog\;\) آن است كه اگر تابع \(g\) ، مقدار معين \(x = a\) از دامنه تعريف خود را به \(g\left( a \right) = b\) تصويركند و \(b\) متعلق به دامنه تعريف \(f\) باشد و \(\;f\) و \(b\) را به \(f\left( b \right)\; = c\) تصوير نمايد. اين تابع مركب \(fog\) است كه \(a\;\) را مستقيماً به\(\;c\;\) تصوير ميكند.
با این تعريف مي توان دامنه تعريف \(fog\;\) را نيز به درستي تعريف كرد.
\({D_{fog}} = \left\{ {x{\rm{|}}x \in {D_{g\;}},\;\;g\left( x \right) \in {D_f}} \right\}{\rm{\;\;\;}}\)
به همين ترتيب داريم :
\(\;{D_{gof}} = \left\{ {x{\rm{|}}x \in {D_f}\;\;,\;f\left( x \right) \in {D_g}} \right\}\;\;\;\;\;\)
مثال 5. 26 :
اگر \(f = \left\{ {\;\left( {1,\;2} \right),\;\left( {2, – 1\;} \right),\left( { – 1,0} \right),\left( {0,1} \right),\left( {4,3} \right)} \right\}\) و
\(\;g = \left\{ {\left( {1,3} \right),\left( {0,2} \right),\left( { – 1,4} \right),\left( {3,2} \right),\left( {2, – 1} \right)} \right\}\;\;\)
در اين صورت \(gof\;\;\;,\;fog\;\;\;\;\;,\;{D_{gof}}\;\;\;,\;{D_{fog}}\) را بدست آوريد.
حل :
\({D_f} = \left\{ {1,2, – 1,0,4} \right\}\)
\(f\left( 1 \right) = 2\;\;,\;2 \in \;{D_g},1 \in {D_{gof}}\;\;\;,\;\;\;f\left( 2 \right) = – 1\;, – 1\; \in {D_g}\; \Rightarrow 2 \in {D_{go}}f\)
\(f = 0\;\;\;\;,\;0 \in {D_g}\; \Rightarrow – 1 \in {D_{gof}},f\left( 0 \right) = 1,1 \in {D_g}\; \Rightarrow 0 \in {D_{go}}f\)
\(f\left( 4 \right) = 3\;\;,\;3 \in {D_g}\; \Rightarrow 4 \in {D_{go}}f\)
بنابراين :
\({D_{gof}} = \left\{ {1,2, – 1,0,4} \right\}\)
\(gof = \left\{ {\left( {1, – 1} \right),\left( {2,4} \right),\left( { – 1,2} \right),\left( {0,3} \right),\left( {4,2} \right)} \right\}\)
به همين ترتيب
\({D_{fog}} = \left\{ {0, – 1,2,3} \right\}\)
\(fog = \left\{ {\left( {0, – 1} \right),\left( { – 1,3} \right),\left( {2,0} \right),\left( {3, – 1} \right)} \right\}\)
مثال5. 27:
فرض كنيد \(g\left( x \right) = \sqrt {x\;} {\rm{\;\;}},\;\;\;f\left( x \right) = \frac{1}{x}\) در اينصورت \(gof\;\;\;\;,\;{D_{gof}}\;\;\;\;,\;fog\;\;,\;{D_{fog}}\) را بدست آوريد.
حل :
\({D_f} = \mathbb{R} – \left\{ 0 \right\}\;\;\;\;\;,\;\;\;\;{D_g} = \left[ {0, + \infty } \right)\)
\({D_{fog}} = \{ x\left| {x \in {D_g}\;\;,\;g\left( x \right) \in {D_f}\} = \{ x\left| {x \in \left[ {0, + \infty } \right),\sqrt x \in \mathbb{R} – \left\{ 0 \right\}\} } \right.} \right.\)
\(\sqrt x \in \mathbb{R} – \left\{ 0 \right\} \Rightarrow x \ge 0,\;x \ne 0\; \Rightarrow x \in \left( {0, + \infty } \right)\)
\({D_{fog}} = \left[ {0, + \infty } \right) \cap \left( {0, + \infty } \right) = \left( {0, + \infty } \right)\)
\(fog\left( x \right) = f\left( {g\left( x \right)} \right) = f\left( {\sqrt x } \right) = \frac{1}{{\sqrt x }}\)
\({D_{gof}} = \left\{ {x{\rm{|}}x \in {D_f}\;\;,\;f\left( x \right) \in {D_g}} \right\} = \{ x|x \in \mathbb{R} – \left\{ 0 \right\},\frac{1}{x} \in \left[ {0, + \infty } \right)\} \)
\(\frac{1}{x} \in \left[ {0, + \infty } \right) \Rightarrow \frac{1}{x} \ge 0,x \ne 0\; \Rightarrow \frac{1}{x} > 0\; \Rightarrow x > 0\)
\(\; \Rightarrow {D_{gof}} = \left( {\mathbb{R} – \left\{ 0 \right\}} \right) \cap \left( {0, + \infty } \right) = \left( {0, + \infty } \right)\)
\(gof\left( x \right) = g\left( {f\left( x \right)} \right) = g\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{1}{{\sqrt x }}\)
نمودار تابع
اكنون آمادهايم كه به بررسي نمايش تصويري توابع بپردازيم .
تعريف 5. 12 :
نمودار تابع \(y = \;f\left( x \right)\)، شكل هندسي در صفحه \(xoy\;\) است كه از رسم تمام نقاط \(\left( {x,y} \right)\) كه ( مختصات انها) در فرمول \(y\; = f\left( x \right)\) ، صدق ميكنند بدست ميآيد.
لازم به ذكر است كه متغير \(x\) را متغير مستقل و متغير y را متغير وابسته ميگويند.
مثال 5. 28:
نمودار \(f = \left\{ {\left( {1,1} \right),\left( {2,3} \right),\;\left( { – 1,0} \right),\left( {0,0} \right)} \right\}\) را در يك دستگاه مختصات رسم كنيد.
مثال 5. 29 :
نمودار تابع با ضابطه \(f\left( x \right) = 3x – 1\) را در يك صفحه مختصات رسم كنيد.
حل : مطابق آنچه كه مي دانيم، معادله \(y = 3x – 1\) معادله خط راستي است با شيب 3 و عرض از مبدا 1- و به كمك دو نقطه دلخواه از آن، قابل رسم است.
روش عمومي براي رسم نمودار توابع، نقطه يابي است، يعني با دادن مقادير مختلف به \(x\) (متغير مستقل) \(y\) ها (متغير وابسته) نظير را بدست آورده، و با داشتن نقاط متعددي از منحني و وصل كردن اين نقاط به يكديگر، نمودار تابع را رسم مي كنيم. براي مثال رسم منحني تابع \(y = \left| x \right|\) ( تابع قدر مطلق ) به كمك اين روش بصورت زير است.
2 |
1 |
0 |
-1 |
-2 |
\(x\) |
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
\(y\) |
\(\left| x \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \ge 0}\\{ – x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x < 0}\end{array}\; \Rightarrow \;} \right.\)
ويژگيهاي مهم نمودار تابع
با توجه به تعريف نمودار تابع و شرط تابع بودن يك رابطه، بسادگي نتيجه مي شود كه هر خط راست موازي محور \(y\;\)ها (عرضها) نمودار تابع را حداكثر در يك نقطه قطع مي كند زيرا هرگاه خط قائم \(x = c\) نمودار \(y = f\left( x \right)\) را در دو يا چند نقطه قطع كند، آنگاه دو يا چند مقدار از \(y\) ، يعني عرضهاي اين نقاط، نظير يك مقدار از \(x\) ، يعني \(c\)اند و اين با تعريف تابع در تناقض است. به عنوان مثال، نمودارهاي زير نمي توانند نمودار يك تابع باشند.
ولي نمودارهاي زير نمودار يك تابع هستند.
تساوي دو تابع
تعريف5. 13:
دو تابع مفروض \(g\;,f\) را مساوي گويند هرگاه، اولاً \({D_f} = {D_g}\) و ثانياً
\(\forall x \in \left( {{D_f} = {D_g}} \right)\) داشته باشيم: \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) .
مثال :
آيا دو تابع \(g\left( x \right) = 1\;\;\;,\;f\left( x \right) = \frac{x}{x}\) برابرند ؟
حل : خیر زیرا:
\({D_f} = \mathbb{R} – \left\{ 0 \right\}\;,\;{D_g} = \mathbb{R}\; \Rightarrow {D_f} \ne {D_g}\)
مثال5 . 30:
آيا تابعهاي \(g\;,f\) با ضابطههاي \({\rm{\;\;\;}}g\left( x \right) = \sqrt x \;,\;\;\;\;\;f\left( x \right) = x\) برابرند؟
حل : خير زيرا
\({D_f} = \mathbb{R}\;\;,\;{D_g} = \left[ {0, + \infty } \right)\;\; \Rightarrow {D_f} \ne {D_g}\)
در قسمت های بعدی به موارد بیشتری از تابع می پردازیم.
همچنین می توانید مقاله 50 مثال حل شده از اصل شمارش را نیز در صورت تمایل نگاهی بیاندازید.
دیدگاهتان را بنویسید
برای نوشتن دیدگاه باید وارد بشوید.