تابع چیست؟(قسمت اول) 16 مثال کامل + تعاریف و قضایا
آنچه در این مقاله میخوانید
Toggleمقدمه ای بر تابع
مفهوم تابع يكي از مهمترين و اساسيترين مفاهيم رياضي است بطوري كه رياضيات، بخصوص رياضيات پيوسته تقريباً بر اين مفهوم استوار است. در شاخههاي مختلف رياضيات براي معرفي تابع ، تعريف و بيان مفهوم آن، شيوههاي مختلفي بكار ميرود كه همگي يك معني واحد ميدهند و فقط نوع گفتار و ابزار بيان آنها با يكديگر متفاوت است. در اين ميان آنچه اهميت دارد اين است كه بايد بدانيم مفهوم تابع با مفهوم مجموعهها همواره در هم آميخته است. لذا ما در اين فصل ابتدا تابع را توسط زوجهاي مرتب و رابطه بيان مي كنيم. سپس اين بيان را واضح و كاربردي تر خواهيم كرد و تابع را به عنوان يك عملگر (يا ماشینی كه به آن برنامه خاصي داده ميشود) بيان و در ادامه به معرفي انواع توابع و خصوصيات آنها خواهيم پرداخت.
زوج مرتب
همان طور كه مي دانيد براي مجموعهها، ترتيب نوشتن اعضا در يك فهرست اهميت نداشت.
براي مثال:
در مجموعهاي با دو عضو \(a\) و \(b\) داریم \(\left\{ {a,b} \right\} = \left\{ {b,a} \right\}\). با در نظر گرفتن مطلب فوق گاهي ضروري است كه ترتيب را هم مشخص كنيم. مثلا هر نقطه از صفحات مختصات را با زوج \(\left( {x,y} \right)\;\) نشان مي دهيم. در اينجا ترتیب بسيار مهم است. مثلا نقاط \(\left( {2{\rm{\;}},{\rm{\;}}3} \right)\) و \(\left( {3\;,\;2\;} \right)\) با هم متفاوت هستند.
به اين ترتيب به مفهوم زوج مرتب \(\left( {x\;,\;y} \right)\) سوق پيدا ميكنيم. پرانتز را به اين منظور بكار مي بريم كه آن را از\(\;\left\{ {x,y} \right\}\)متمايز كنيم.
خاصيت مهمي كه براي اين مفهوم جديد لازم است اين است كه :
\(\left( {x,y} \right) = \left( {u,v} \right) \Leftrightarrow x = u\;,\;y = v\)
حال آمادهايم كه تعريفي دقيق تر از زوج مرتب ارائه دهيم.
تعريف 1.5 :
دو شيء \(b\;,a\) مفروض اند. اگر براي اين دو شيء ترتيب قائل شويم، بدين صورت كه معلوم كنيم كدام يك اول و كدام يك دوم است، اين دو شيء همراه با اين ترتيب را يك زوج مرتب گوييم.
اگر در اين ترتيب \(a\) اول و \(b\) دوم باشد، آن را بصورت \(\left( {a\;,b} \right)\) نشان مي دهيم و \(a\) را مولفه اول و \(b\;\) را مولفه دوم زوج مرتب \(\left( {a\;,b} \right)\) ميناميم.
همان طور كه قبلا ذكر شد، در هندسه تحليلي، صفحه دكارتي (مختصات) را ميتوان مجموعه تمام جفتهاي مرتب اعداد حقيقي در نظر گرفت. بيان ضربي اين مفهوم چنين است.
حاصل ضرب دكارتي
تعريف 2.5 :
اگر \(\;A\) و \(B\) دو مجموعه مفروض باشند، حاصل ضرب دكارتي \(A\) در \(B\) را بصورت \(A \times B\) نشان ميدهند و چنين تعريف مي كنند.
\(A \times B = \left\{ {\left( {x,y} \right)\left| {x \in } \right.A,\;y \in B} \right\}\)
مثال 1.5 :
اگر \(B = \left\{ {a\;,b\;,c} \right\}\;,\;A = \left\{ {1\;,\;2} \right\}\). حاصل ضرب دكارتي \(A \times B\) و \(B \times A\) را بيابيد.
بنابراين
\(A \times B = \left\{ {\left( {1,a} \right),\left( {1,b} \right),\left( {1,c} \right).\left( {2,a} \right),\left( {2,b} \right),\left( {2,c} \right)} \right\}\)
\(B \times A = \left\{ {\left( {a,1} \right),\left( {a,2} \right),\left( {b,1} \right).\left( {b,2} \right),\left( {c,1} \right),\left( {c,2} \right)} \right\}\)
همان طور كه در مثال بالا ديده شد، \(A \times B \ne B \times A\) است. حاصل ضرب دكارتي \(B \times A\) را مي توانيم بصورت مجموعه نقاط شكل زير مجسم كنيم.
اگر \(\;{\rm{A}}\) و \({\rm{B}}\) متناهي باشند، از اصل ضرب نتيجه ميشود :
\[\left| {A \times B} \right| = \left| A \right|\left| B \right|\]
گرچه عموماً \(A \times B \ne B \times A\) است. ولي همواره داريم
\(\left| {B \times A} \right| = \left| {A \times B} \right| = \left| A \right|\left| B \right|\)
همچنين اگرچه \({\rm{\;}}A,B \subseteq U\) ، ولی \(A \times B \subseteq U\;{\rm{\;}}\) همواره برقرار نيست، يعني \(U\) الزاماً تحت اين عمل بسته نيست.
مثال 2.5 :
اگر \(\;A\) و \(B\) مجموعه اعداد حقيقي، يعني \(\mathbb{R}\) باشند، \(A \times B\) بصورت \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\) در مي آيد، كه بنابر قرار داد آن را بصورت \({\mathbb{R}^2}\) نشان مي دهيم، لذا داريم :
\(\mathbb{R} \times \mathbb{R} = {\mathbb{R}^2} = \{ \left( {x,y} \right)\left| {x \in \mathbb{R}\;,y \in \mathbb{R}\} } \right.\)
بايد توجه داشت كه مجموعه \({\mathbb{R}^2}\) ، مجموعه كليه نقاط صفحه مختصات است.
مثال 3.5 :
مجموعه هاي \(\mathbb{R} \times \left\{ 0 \right\}\;\;\;\;,\;\left\{ 0 \right\} \times \mathbb{R}\) را مشخص كنید. و نمودار هريك را ( در صفحه مختصات ) رسم كنيد.
حل :
\(\mathbb{R} \times \left\{ 0 \right\} = \{ \left( {x,0} \right)\left| {x \in \mathbb{R}\} } \right.\;\;\;\;\;\;\;\;\;,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ 0 \right\} \times \mathbb{R} = \{ \left( {0,y} \right)\left| {y \in \mathbb{R}\} } \right.\)
\(\left\{ 0 \right\} \times \mathbb{R}\) شامل همه نقاط واقع بر محور \(y\) ها است.
\(\mathbb{R} \times \left\{ 0 \right\}\) شامل همه نقاط واقع بر محور \(x\) ها است.
مثال 4.5 :
اگر \(I = \left[ {\; – 1\;,\;1\;} \right]\) در اينصورت مجموعه \(I \times I\) را مشخص كرده و نمودار آن را رسم كنيد.
\(I \times I = \{ \left( {x,y} \right)\left| { – 1 \le x \le 1\;,\; – 1 \le y \le 1\} } \right.\)
مثال 5.5 :
اگر \({\rm{B}} = \left( { – 1{\rm{\;}},1} \right){\rm{\;}},{\rm{\;A}} = \left( { – 2{\rm{\;}},{\rm{\;}}1{\rm{\;}}} \right)\) ، در اينصورت مجموعه \(A \times B\) را مشخص كنيد و نمودار آن را رسم نماييد.
\(A \times B = \{ \left( {x,y} \right)\left| { – 2 < x < 1\;,\; – 1 < y < 1\} } \right.\)
همان طور كه ديده ميشود، نقاط مرزي جزء نمودار نيست زيرا بازههاي بازههايي باز هستند.
ميتوانيم تعريف حاصل ضرب دكارتي (يا خارجي) را براي بيش از دو مجموعه تعميم دهيم.
تعريف 3.5 :
اگر \({A_n}\;,\; \ldots .,\;{A_2}\;,{A_1}\) مجموعههايي مفروض باشند. آنگاه حاصل ضرب دكارتي ( \(n\) تايي ) \({A_n}\;,\; \ldots .,\;{A_2},{A_1}\) را با \({A_1} \times \;{A_2}\; \times \ldots . \times {A_n}\) نشان مي دهند و بصورت زير تعريف ميكنند.
\({A_1} \times \;{A_2}\; \times \ldots . \times {A_n} = \{ \left( {{a_1},{a_2}, \ldots .,{a_n}} \right)\left| {{a_1} \in {A_1},{a_2} \in {A_2}, \ldots ,{a_n} \in {A_n}\} } \right.\)
عناصر \({A_1} \times \;{A_2}\; \times \ldots . \times {A_n}\) را «n تايي مرتب» مينامند و مورد نظير جفتها، اگر :
\(\left( {{a_1},{a_2}, \ldots ,{a_n}} \right)\;,\;\left( {{{\rm{b}}_1},{{\rm{b}}_2}, \ldots ,{{\rm{b}}_{\rm{n}}}} \right) \in {{\rm{A}}_1} \times {{\rm{A}}_2} \times \ldots {{\rm{A}}_{\rm{n}}}\)
و
\(\left( {{a_1},{a_2}, \ldots ,{a_{\rm{n}}}} \right) = \left( {{b_1},{b_2}, \ldots ,{b_n}} \right) \Leftrightarrow {a_i} = {b_i}\;\;,\;1 \le i \le n\)
مثال 5. 6:
اگر \(B = \left\{ {b,c} \right\}\;\;\;,\;A\; = \;\left\{ {1\;,\;2} \right\}\;\)
آنگاه
\(A \times B \times B = A \times {B^2} = \{ \left( {a,b,b} \right)\left| {a \in A,b \in B\} = } \right.\)
\(\left\{ {\left( {1,a,a} \right),\left( {1,a,b} \right),\left( {1,b,a} \right),\left( {1,b,b} \right),\left( {2,a,a} \right),\left( {2,a,b} \right),\left( {2,b,a} \right),\left( {2,b,b} \right)} \right\}\)
\(\left| {A \times B \times B} \right| = \left| A \right|\left| B \right|\left| B \right| = 2 \times 2 \times 2 = 8\)
در حالت كلي داريم:
\(\left| {A1\; \times \;A2\; \times \; \ldots \times \;An\left| { = \;} \right|A1} \right|\left| {A2} \right| \ldots \left| {An} \right|\).
مثال 7.5:
اگر \({A_1} = {A_2} = \ldots = {A_n} = \mathbb{R}\) در اينصوت مجموعه\(\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \ldots \times \mathbb{R}\) را با \({\mathbb{R}^n}\) نشان مي دهند. يعني :
\({\mathbb{R}^n} = \{ \left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right)\left| {{x_i} \in \mathbb{R}\} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} \right.\)
كه در آن \({\mathbb{R}^n}\) معرف فضاي \(n\) بعدي اقليدسي است. مثلا \({\mathbb{R}^3}\) معرف فضاي سه بعدي اقليدسي است. كرههاي سه بعدي، صفحههاي دو بعدي و خطهاي يك بعدي، زير مجموعههاي مهم آن هستند.
اكنون آمادهايم كه به بيان و اثبات چند قضيه بپردازيم.
قضيه 1.5 :
اگر \({\rm{A}}\) مجموعهايي دلخواه باشد، ثابت كنيد:
\(\emptyset \; \times \;A\; = \;A\; \times \;\emptyset \; = \;\emptyset \)
اثبات :
چون \(A \times \emptyset \) مجموعه همه زوجهاي مرتب \(\left( {a,b} \right)\) است كه در آن\(\;a \in \emptyset \) و چون \(\emptyset \) هيچ عضوي ندارد، بنابراين هيچ عضوي مانند \(b\) در \(\emptyset \) وجود ندارد، لذا \(A \times \emptyset = \emptyset \) . بصورت مشابه \(\emptyset \; \times \;A\; = \;\emptyset \) .
قضيه فوق را با برهان خلف نيز ميتوان اثبات كرد.
نتيجه :
اگر در قضيه فوق \(A = \emptyset \) باشد. در اين صورت \(\emptyset \; \times \;\emptyset \; = \;\emptyset \) .
حاصل ضرب دكارتي، عملهاي اجتماع و اشتراك در قضيه زير به هم مربوط ميشوند.
قضيه 2.5 :
براي مجموعههاي دلخواه \(\;B\;,\;A\)و \(C\) داريم :
الف )
\(A \times \left( {B \cap C} \right) = \left( {A \times B} \right) \cap \left( {A \times C} \right)\)
ب )
\(A \times \left( {B \cup C} \right) = \left( {A \times B} \right) \cup \left( {A \times C} \right)\)
پ)
\(\left( {A \cap B} \right) \times C = \left( {A \times C} \right) \cap \left( {B \times C} \right)\)
ت )
\(\left( {A \cup B} \right) \times C = \left( {A \times C} \right) \cup \left( {B \times C} \right)\)
قسمتهاي (الف) و (پ) را اثبات مي كنيم و اثبات مابقي را به عنوان تمرين به عهده خواننده مي گذاريم.
اثبات :
الف )
\(\forall \left( {a,b} \right) \in A \times \left( {B \cap C} \right) \Leftrightarrow a \in A,b \in \left( {B \cap C} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left( {a\; \in \;A} \right),\left( {b\; \in \;B\;,\;b\; \in \;C} \right) \Leftrightarrow \;\left( {a\; \in \;A\;,\;b\; \in \;B} \right),\left( {a\; \in \;A,\;b\; \in \;C} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left( {a,b} \right) \in A \times B\;,\left( {a,b} \right) \in A \times C \Leftrightarrow \left( {a,b} \right) \in \left( {A \times B} \right) \cap \left( {A \times C} \right)\)
از اين رو :
\(A \times \left( {B \cap C} \right) = \left( {A \times B} \right) \cap \left( {A \times C} \right)\)
پ )
\(\forall \left( {a,b} \right) \in \)
\(\left( {A \cap B} \right) \times C \Leftrightarrow a\;\; \in \left( {A \cap B} \right),\;b \in C \Leftrightarrow \)
\(\left( {a \in A\;,\;a \in B} \right),\left( {b \in C} \right) \Leftrightarrow \left( {a \in A,b \in C} \right),\left( {a \in B,b \in C} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left( {a,b} \right) \in A \times C\;\;\;,\;\left( {a,b} \right) \in B \times C\)
\( \Leftrightarrow \left( {a,b} \right) \in \left( {A \times C} \right) \cap \left( {B \times C} \right)\)
از اين رو:
\(\left( {A \cap B} \right) \times C = \left( {A \times C} \right) \cap \left( {B \times C} \right)\)
مثال 8.5 :
اگر \(B\;,A\) و \(C\) مجموعه هايي مفروض باشند، تعداد عضوهاي عبارت زیر را بدست آورید.
\(\left( {A \times C} \right) \cap \left( {B \times C} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;,\;\;\left( {A \times B} \right) \cap \left( {A \times C} \right)\)
حل :
با توجه به قضيه فوق داريم :
\(\left| {\left( {A \times B} \right) \cap \left( {A \times C} \right)} \right| = \left| {A \times \left( {B \cap C} \right)} \right| = \left| A \right|\left| {B \cap C} \right|\)
\(\left| {\left( {A \times C} \right) \cap \left( {B \times C} \right)} \right| = \left| {\left( {A \cap B} \right) \times C} \right| = \left| {A \cap B} \right|\left| C \right|\)
قضيه 5. 3 :
اگر \(B\;,A\) و \(C\) سه مجموعه دلخواه باشند، ثابت كنيد.
\(A \times \left( {B – C} \right) = \left( {A \times B} \right) – \left( {A \times C} \right)\)
يعني حاصل ضرب دكارتي نسبت به متمم گيري پخش پذير است.
اثبات:
\(\forall \left( {x,y} \right) \in A \times \)
\(\left( {B – C} \right) \Leftrightarrow x \in A,\;y \in \left( {B – C} \right) \Leftrightarrow \)
\(\left( {x \in A} \right),\left( {y\; \in B\;\;,\;y \notin C} \right) \Leftrightarrow \left( {x \in A,x \in A} \right),\left( {y \in B\;,y \notin C} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left( {x \in A\;,\;y \in B} \right),\;\left( {x \in A\;,\;y \notin C} \right)\)
پس:
\(A \times \left( {B – C} \right) = \left( {A \times B} \right) – \left( {A \times C} \right)\)
مثال 9.6 :
اگر \(B\;,A\) و \(C\) سه مجموعـه مفروض باشنـد، تعداد عضــوها \(\left( {A \times B} \right) – \left( {A \times C} \right)\) را بدست آوريد.
حل :
با توجه به قضيه فوق داريم :
\(\left| {\left( {A \times B} \right) – \left( {A \times C} \right)} \right| = \left| {A \times \left( {B – C} \right)} \right| = \left| A \right|\left| {B – C} \right|\)
رابطه
بخشي از رياضيات توصيفي، مطالعه رابطههاست. چون يك رابطه مجموعهاي از جفت هاي مرتب است، اولين نظر اجمالي خود را از اهميت اساسي مفهوم جفت مرتب بدست ميآوريم.
تعريف 5. 4 :
يك رابطه دو تايي يا به طور ساده \(R\) يك رابطه از مجموعه \({\rm{A}}\) به توي مجموعه \({\rm{B}}\) ، زير مجموعهاي از \(A \times B\) است، يعني : \(R \subseteq A \times B\) .
مثال 5. 10:
چند رابطه از مجموعه \({\rm{A}} = \left\{ {1{\rm{\;}},2{\rm{\;}},3{\rm{\;}}} \right\}\) به مجموعه \({\rm{B}} = \left\{ {1{\rm{\;}},4} \right\}\) ميتوان نوشت ؟
حل :
تعداد رابطههاي موجود از \({\rm{A}}\) به \({\rm{B}}\) ، برابر تعداد زير مجموعههاي \(A \times B\) است. چون \(A \times B\) ، 6 عضو دارد. بنابراين \({2^6} = 64\) رابطه از \(A\) به \(B\) وجود دارد.
به طور كلي براي مجموعههاي متناهي \(B,\) \(A\) اگر \(\left| B \right| = n\;,\;\left| A \right| = m\) باشد در اين صورت \({2^{m.n}}\) رابطه از \(A\) به \(B\) وجود دارد كه رابطه \(\emptyset \) و رابطه\(A \times B\) نيز از آن جملهاند. فرض كنيد\(R\) رابطهاي از مجموعه\(A\;\) به توي مجموعه\(B\) باشد. اگر \(\left( {x,y} \right) \in R\) مينويسيم \(xRy\;\) يا \(R\left( x \right)\; = \;y\) . اگر \(xRy\;\) گوییم « \(xy\) , نسبت به هم مرتبت اند » و يا به طور ساده « \(x\)با\(y\) رابطه دارد » يا «\(y\) در رابطه با \(x\) است ». اگر \(A = B\) آنگاه صحبت از رابطه دوتايي روي \({\rm{A}}\) ميكنيم.
مثال 5. 11 :
فرض كنيد كه \({\rm{\;A}}\) نامهاي تمام استان هاي ايران باشد و \(B = \mathbb{R}\). به هر استان\(\;a\) در \({\rm{A}}\) عدد صحيح مانند \(n\;\) نسبت ميدهيم كه نمايش جمعيت آن استان در سال 1391 است. در اين صورت :
\(R\; = \;\{ \left( {a,\;b} \right)\;|1390\) در سال\(a\) جمعیت استان \(n\;,\;a\; \in \;A\} \)
زير مجموعهاي از \(A \times \mathbb{R}\) است. بنابراين \(R\) يك رابطه از \({\rm{A}}\) به توی \(\mathbb{R}\) تعريف ميكند.
فرض كنيد \(R\) رابطه اي از مجموعه \({\rm{A}}\) به توي مجموعه \(B\) باشد. با نظري به عناصر، ميتوان دريافت كه كدام يك از عناصر \({\rm{A}}\) با عناصر \(B\) نسبت به \({\rm{R}}\) مرتبط اند. عناصري از \({\rm{A}}\) كه با عناصر \(B\) رابطه دارند، تشكيل زير مجموعه اي از \({\rm{A}}\) را مي دهند كه دامنه \({\rm{R}}\) ناميده مي شود، و عناصري از \(B\) كه با عناصر از \({\rm{A}}\) در رابطه اند، تشكيل زير مجموعه اي از \(B\) را مي دهند كه برد \({\rm{R}}\) ناميده مي شود.
تعريف 5. 5 :
فرض كنيد \({\rm{R}}\) رابطهاي از مجموعه \({\rm{A}}\) به توي مجموعه \(B\) باشد. در اينصورت دامنه \({\rm{R}}\) كه با نمادهاي \(\;Dom\left( R \right)\) یا \({D_R}\) نشان داده مي شود، عبارتست از مجموعه مولفههاي اول زوج مرتبهاي \({\rm{R}}\) ، يعني :
\({D_R} = \{ \left. a \right|\left( {a,y} \right) \in R\;;B\;\) ای در\(y\) به ازای\(\} \)
بوضوح ديده مي شود \({D_R} \subseteq A\) .
تعريف 5. 6 :
رابطه \({\rm{R}}\) از \({\rm{\;A}}\) در \(B\) را در نظر مي گيريم. مجموعه كليه مؤلفههاي دوم زوج مرتبهاي \({\rm{R}}\) را برد \({\rm{R}}\) گويند و با نماد \(Rang\;\left( R \right)\) نشان ميدهند.
يعني:
\(\} \)به ازای \(x\) ای در \(R = Rang\;\left( R \right) = \{ \left. {b \in B} \right|\left( {x,b} \right) \in R\;,A\)
پس:
\(Rang\;\left( R \right) \subseteq B\)
مثال 5. 12:
دو مجموعه \({\rm{A}} = \left\{ {1,2,3,4,6,9{\rm{\;}}} \right\}\) و \({\rm{B}} = \left\{ {{\rm{\;}}1{\rm{\;}},2,3{\rm{\;}},5,{\rm{\;}}7,9{\rm{\;}}} \right\}\) داده شدهاند. رابطهاي مانند \(R\) از \({\rm{A}}\) در \(B\) بنويسيد، متشكل از زوج مرتبهايي كه مؤلفه دوم آن از دو برابر مؤلفه اول، يك واحد بيشتر باشد. دامنه و برد آن را تعيين كنيد و نمودار آن را نيز رسم كنيد.
حل :
رابطه \(R\) را میتوان بصورت زير نشان داد.
\(R = \{ \left( {x,y} \right)\left| {x \in A\;,\;y \in B\;\;\;,\;y = 2x + 1\} \;\;\;*} \right.\)
در زير رابطه \(R\) با عضوهايش نشان داده شده است.
\(R = \left\{ {\left( {1,3} \right)\;,\left( {2\;,5} \right)\;,\left( {3\;,7} \right)\;,\;\left( {4,9} \right)\;} \right\}\)
گاهي به جاي نمايش رابطه \(R\) بصورت ( * ) آن را به شكل زير نمايش مي دهيم.
\(xRy\; \Leftrightarrow y = 2x + 1\)
\({D_R} = \left\{ {1\;,2\;,3\;,4\;} \right\}\;\;\;,\;Rang\;\left( R \right) = \left\{ {3\;,5\;,7,\;9} \right\}\;\)
تعريف 5. 7 :
فرض كنيد \({\rm{\;}}{{\rm{R}}_1}\) و \({R_2}\;\) دو رابطه از \(A\) به \(B\) باشند.
الف ) اجتماع \(\;{R_1}\) و \({R_2}\;\) بصورت زير تعريف مي شود:
\({R_1} \cup {R_2} = \{ \left( {x,y} \right)|\left( {x,y} \right) \in {R_1}\) یا \(\;\left( {x,y} \right) \in {R_2}\} \)
ب ) اشتراك \(\;{R_1}\) و \({R_2}\) عبارت است از:
\({R_1} \cap \;\;{R_2} = \{ \left( {x,y} \right)\left| {\left( {x,y} \right)} \right. \in {R_1}\) و \(\;\left( {x,y} \right) \in {R_2}\} \)
پ ) اگر \({\rm{R}}\) يك رابطه از \(A\;\) به \(B\) باشد، متمم \({\rm{R}}\) بصورت زير تعريف مي شود:
\({R^c} = R’ = \{ \left( {x,y} \right)\left| {\left( {x,y} \right) \notin R\} } \right.\)
ت ) اگر \({\rm{R}}\) يك رابطه از \(A\) به \(B\) باشد، وارون \({\rm{R}}\) بصورت زير تعريف مي شود.
\({R^{ – 1}} = \{ \left( {y,x} \right)\left| {\left( {x,y} \right) \in R\} } \right.\)
مثال5. 13:
\({R_1} = \left\{ {\left( {1,2} \right),\;\left( {1,6\;} \right),\left( {2,3} \right),\left( {4,5} \right)} \right\}\)
و
\({R_2} = \left\{ {\left( {3,7} \right),\;\left( {4,5} \right),\left( {6,9} \right),\;\left( {2,\;3} \right)} \right\}\)
در اينصورت:
\({R_1} \cup {R_2} = \left\{ {\left( {1,2} \right),\left( {1,6} \right),\left( {2,3} \right),\left( {4,5} \right),\left( {3,7} \right),\left( {6,9} \right)} \right\}\)
\({R_1} \cap \;\;{R_2} = \left\{ {\left( {4,5} \right),\left( {2,3} \right)} \right\}\)
\({R_1}^{ – 1} = \left\{ {\left( {2,1} \right),\left( {6,1} \right),\;\left( {3,2} \right),\;\left( {5,\;4} \right)} \right\}\)
مثال 5. 14 :
رابطه \({\rm{R}}\) روي \(A = \left\{ {\;1\;,2\;,3\;} \right\}\) بصورت \(R = \left\{ {\left( {1,3} \right),\;\left( {2,1} \right),\left( {3,1} \right),\left( {1,2} \right)} \right\}\) تعريف شده است. متمم \({\rm{R}}\) عبارت است از :
\({R^c} = R’ = \left\{ {\left( {1,1} \right),\left( {3,3} \right),\left( {2,3} \right),\left( {3,2} \right),\left( {2,2} \right)} \right\}\)
تعريف5. 8 :
فرض كنيد \({R_1}\) رابطهاي از\(\;A\) به \(B\) و \({R_2}\) رابطه اي از \({\rm{B}}\) به \(C\) است. در اين صورت \({R_2}O{R_1}\) رابطه اي از \({\rm{A}}\) به \(C\) است كه آن را تركيب \({\rm{\;}}{R_2}\) به \({R_1}\) مي گويند و بصورت زير تعريف مي شود.
\(\left( {a,c} \right) \in {R_2}O{R_1}\) هرگاه \(b\) اي در \(B\) باشد بطوري كه \(\left( {b,c} \right) \in {R_2}\;,\;\left( {a,b} \right) \in {R_1}\) .
براي بدست آوردن عضوهاي \({R_2}O{R_1}\)، يك زوج مرتب \(\left( {x,y} \right)\) در \({R_1}\) اختيار ميكنيم. اگر زوج مرتبي به شكل \(\left( {y,\;t} \right)\) در \({R_2}\) باشد، آنگاه \(\left( {x,t} \right)\) عضوي از \({R_2}O{R_1}\) است.
مثال 5. 15 :
اگر \({\rm{S\;}},{\rm{\;C}} = \left\{ {{\rm{\;}} – 3,{\rm{\;}} – 4{\rm{\;}},4{\rm{\;}}} \right\}{\rm{\;}},{\rm{\;B\;}} = {\rm{\;}}\left\{ {{\rm{\;}}0,2,3} \right\}{\rm{\;\;}},{\rm{\;A}} = {\rm{\;}}\left\{ {{\rm{\;}} – 2{\rm{\;}}, – {\rm{\;}}1{\rm{\;}},1{\rm{\;}}} \right\}\) رابطهاي از \({\rm{A}}\) به \({\rm{B}}\) بصورت \({\rm{R}},\;{\rm{S}} = \left\{ {{\rm{\;}}\left( { – 2{\rm{\;}},0} \right),{\rm{\;}}\left( { – 2,3} \right){\rm{\;}},\left( { – 1,3} \right)} \right\}\) رابطه اي از \({\rm{B}}\) به \({\rm{C}}\) بصورت \({\rm{\;R}} = \left\{ {{\rm{\;}}\left( {0,4} \right){\rm{\;}},\left( {2,{\rm{\;}}4} \right){\rm{\;}},\left( {2, – 4{\rm{\;}}} \right),\left( {0{\rm{\;}}, – 3} \right)} \right\}\) باشد. در اينصورت \({\rm{ROS\;}}\) را بدست آوريد.
\(\left( { – 2,0} \right) \in S,\;\left( {0,4} \right) \in R \Rightarrow \left( { – 2,4} \right) \in ROS\)
\(\left( { – 2,0} \right) \in S,\;\left( {0, – 3} \right) \in R \Rightarrow \left( { – 2, – 3} \right) \in ROS\)
بنابراين
\(ROS = \left\{ {\left( { – 2,4} \right),\left( { – 2, – 3} \right)} \right\}\)
قضيه زير بيانگر برخي از خواص تركيب دو رابطه است.
قضيه5. 4:
الف)
تركيب رابطه ها شرکت پذیر است. يعني اگر \({R_1}\) رابطه اي از \({\rm{A}}\) به \({\rm{B}}\) و \({R_2}\) رابطه اي از \({\rm{B}}\) به \({\rm{C}}\) باشد، و \({R_3}\) رابطه اي از \({\rm{C}}\) به \({\rm{D}}\) باشد. آنگاه:
\(\left( {{R_3}O{R_2}} \right)O{R_1} = {R_3}O\left( {{R_2}O{R_1}} \right)\)
ب )
اگر \(R\) رابطه اي از \(A\) به \(BS\) , رابطهاي از \(B\) به \({\rm{C}}\) باشد. آنگاه :
\({(SOR)^{ – 1}} = {R^{ – 1}}O{S^{ – 1}}\)
مثال 5. 16:
مثال قبل را در نظر بگيريد :
\({R^{ – 1}} = \{ \left( {4,0} \right),\left( {4,2} \right),\left( { – 4,2} \right)\left( { – 3,0} \right)\)
\({S^{ – 1}} = \left\{ {\left( {0, – 2} \right).\left( {3, – 2} \right),\left( {3, – 1} \right)} \right\}\)
\({S^{ – 1}}O{R^{ – 1}} = \left\{ {\left( {4, – 2} \right),\left( { – 3, – 2} \right)} \right\}\)
\({\left( {ROS} \right)^{ – 1}} = \left\{ {\left( {4, – 2} \right),\left( { – 3, – 2} \right)} \right\}\)
دیدگاهتان را بنویسید
برای نوشتن دیدگاه باید وارد بشوید.