ریاضی – مشتق و انتگرال توابع برداری – طول قوس – تابع طول قوس
آنچه در این مقاله میخوانید
Toggleتوابع برداری – حساب دیفرانسیل و انتگرال توابع برداری – طول قوس – تابع طول قوس
کاربران گرامی سایت تاتور، سلام. امیدوارم سلامت باشید. همونطوری که میدونید توابع برداری در ریاضی که شامل حساب دیفرانسیل و انتگرال توابع برداری ، طول قوس ، تابع طول قوس میباشد بسیار حائز اهمیت است. در این پست تصمیم داریم در مورد توابع برداری ، حساب دیفرانسیل و انتگرال توابع برداری ، طول قوس ، تابع طول قوس را همراه با مثال برای شما عزیزان توضیح دهیم، پس با ما همراه باشید تا توابع برداری ، حساب دیفرانسیل و انتگرال توابع برداری ، طول قوس و تابع طول قوس را بشناسید و یا بهتر بشناسید.
توابع برداری در ریاضی
مقدمه
در این بخش توابعی را درنظر میگیریم که قلمرو (دامنه) آن مجموعهای از اعداد حقیقی و بردش مجموعهای از بردارهاست. چنین تابعی را تابع برداری گویند.
تعاریف مقدماتی
تعریف: فرض کنید \(f\) و \(g\) توابعی با مقادیر حقیقی از یک متغیر حقیقی باشند. در اینصورت، برای هر عدد \(t\) در قلمرو مشترک \(f\) و \(g\) یک بردار \(\vec R\) وجود دارد که به صورت زیر تعریف میشود:
\(\vec R\left( t \right) = {\rm{f}}\left( t \right)\vec i + g\left( t \right)\vec j\)
\(\vec R\) را یک تابع برداری مینامند.
مثال۱: تصور کنید
\(\vec R\left( t \right) = \left( {\sqrt {t – 2} } \right)\vec i + {\left( {t – 3} \right)^{ – 1}}\vec j\)
قلمرو \(\vec R\) مجموعه مقادیری از \(t\) است که به ازای آنها، هردوی \({\rm{f}}\left( t \right)\) و \(g\left( t \right)\) تعریف شدهاند. در این مثال \(f\left( t \right)\) بهازای \(t \ge 2\) و \(g\left( t \right)\) بهازای تمام اعداد حقیقی بهجز \(۳\) تعریف میشود. پس قلمرو \(\vec R\) عبارت است از:
\(\{ t|t \ge 2,t \ne 3\} \)
اگر \(\vec R\)تابعی برداری باشد، آنگاه چنان که \(t\) تمام مقادیر قلمرو \(\vec R\) را اختیار کند، انتهای نمایش موضع بردار \(\vec R\left( t \right)\) منحنی \(C\) را پدید میآورد. بهازای هر مقدار\(t\) ، نقطهای مانند \(x\) روی \(y\) وجود دارد که برای آن داریم:
\(y = g\left( t \right)\;\;\;\;\;\;\;,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x = f\left( t \right)\)
این معادله را معادله پارامتری \(C\) مینامند. منحنی \(C\) یک نمودار تابع برداری نام دارد، معادله پارامتری منحنی در هر نقطه جهتی به منحنی میدهد. یعنی اگر منحنی در اثر حرکت یک ذره به وجود آمده باشد، میتوانیم جهت مثبت در امتداد منحنی را همان جهت حرکت ذره وقتی که \(t\) افزایش مییابد، درنظر بگیریم. \(t\) را میتوان اندازه زمان فرض کرد.
مثال ۲: معادله برداری \(\vec R\left( t \right) = 2\cos t\vec i + 2\sin t\vec j\) داده شده است.
الف)نمودار این معادله را رسم کنید.
ب)معادله دکارتی نمودارها را به دست آورید.
حل:الف) بزرگی بردار موضع را به دست میآوریم. بهازای هر \(t\) داریم:
\(\left| {\vec R\left( t \right)} \right| = \sqrt {4{{\cos }^2}t + 4{{\sin }^2}t} = 2\sqrt {{{\cos }^2}t + {{\sin }^2}t} = 2\)
بنابراین انتهای نمایش موضع هر بردار \(R\left( t \right)\) به فاصله \(۲\) واحد از مبدأ قرار دارد. اگر \(t\) تمام اعداد واقع در بازه بسته \(\left[ {0,2\pi } \right]\) را اختیار کند، دایرهای به دست میآوریم که مرکزش مبدأ و شعاع آن \(۴\) است. (شکل زیر)
\(x = 2\cos t\)
\(y = 2\sin t\)
ب) معادله دکارتی را میتوان با حذف \(t\) از دو معادله پارامتری بالا بدست آورد:
\({x^2} + {y^2} = 4\)
برای به دست آوردن مشتق \(y\) برحسب \(x\) میتوان از دستور \(\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{\frac{{dy}}{{dt}}}}{{\frac{{dx}}{{dt}}}}\) استفاده و بجای مشتق گرفتن مستقیم از معادلات پارامتری مشتق بگیریم.
و مشتق مرتبه دوم برابرست با:
\(\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = \frac{{\frac{{d\left( {y’} \right)}}{{dt}}}}{{\frac{{dx}}{{dt}}}}\)
مثال ۳: فرض کنید معادله تابع برداری بهصورت پارامتری \(\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3{t^2}}\\{y = 4{t^3}}\end{array}\)بیان شده باشد:
الف) نمودار منحنیای را که با معادله پارامتری تعریف میشود به دست آورید.
ب) معادله دکارتی این معادله پارامتری را بیابید.
ج) مشتق \(y\) را نسبت به \(x\) از مراتب اول و دوم بیابید.
حل: ب) \(x = 3{t^2}\) پس هیچگاه \(x\) منفی نیست و داریم:
\(\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3{t^2}}\\{y = 4{t^3}}\end{array} \Rightarrow \;\;\;\;\;\;\;{x^3} = 27{t^6}{y^2} = 16{t^6}\)
\(\frac{{{x^3}}}{7} = \frac{{{y^2}}}{{16}}\)
و یا معادله دکارتی\(۱۶{x^3} = 27{y^2}\)
الف) بهازای مقادیر مختلف
\(y\) | \(x\) | \(t\) |
\(۰\) | \(۰\) | \(۰\) |
\(\frac{1}{2}\) | \(\frac{3}{4}\) | \(\frac{1}{2}\) |
\(۴\) | \(۳\) | \(۱\) |
\(۳۲\) | \(۱۲\) | \(۲\) |
\( – ۴\) | \(۳\) | \( – ۱\) |
ج) مشتق مرتبه اول
\(\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{\frac{{dy}}{{dt}}}}{{\frac{{dx}}{{dt}}}} = \frac{{12{t^2}}}{{6t}} = 2t\)
مشتق مرتبه دوم
\(\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = \frac{{\frac{{d\left( {y’} \right)}}{{dt}}}}{{\frac{{dx}}{{dt}}}} = \frac{2}{{6t}} = \frac{1}{{3t}}\)
مثال ۴: نمودار منحنی را که با معادلات پارامتری زیر تعریف میشود، رسم کنید.
\(x = \cosh t\;\;\;\;,\;\;\;\;\;y = \sinh t\)
حل: دو طرف معادلات پارامتری را بهتوان دو رسانده از هم کم میکنیم معادله منحنی هذلولی متساویالساقین به وجود میآید (شکل ۳).
\({x^2} – {y^2} = {\cosh ^2}t – {\sinh ^2}t = 1\)
شاخه راست هذلولی در این معادلات صدق میکند.
\({x^2} – {y^2} = 1\)
مثال ۵: معادله برداری زیر را منحنی چرخزاد گویند
\(x = a\left( {t – \sin t} \right)\)
\(y = a\left( {1 – \cos t} \right)\)
که \(t\) عدد حقیقی دلخواهی است و نمودار آن بصورت زیر نشان داده شده است. (شکل ۴)
حساب دیفرانسیل و انتگرال توابع برداری
۱- حد توابع برداری
تعریف: فرض کنید \(\vec R\) تابعی برداری باشد که مقادیرش از رابطه زیر بدست میآید:
\(\vec R\left( t \right) = f\left( t \right)\vec i + g\left( t \right)\vec j\)
در اینصورت حد \(R\left( t \right)\) وقتی \(t\) به سمت \({t_1}\) میل کند، بهصورت زیر تعریف میشود:
\(\mathop {\lim }\limits_{t \to {t_1}} R\left( t \right) = \left[ {\mathop {\lim }\limits_{t \to {t_1}} f\left( t \right)} \right]\vec i + \left[ {\mathop {\lim }\limits_{t \to {t_1}} g\left( t \right)} \right]\vec j\)
بهشرطی که \(\mathop {\lim }\limits_{t \to {t_1}} f\left( t \right)\) و \(\mathop {\lim }\limits_{t \to {t_1}} g\left( t \right)\) هردو وجود داشته باشند.
مثال ۶: اگر \(\vec R\left( t \right) = \cos t\vec i + 2{e^t}\vec j\) باشد آنگاه
\(\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} R\left( t \right) = \left[ {\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \cos t} \right]\vec i + \left[ {\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} 2{e^t}} \right]\vec j = \vec i + 2\vec j\)
تعریف: تابع برداری \(\vec R\) در \({t_1}\) پیوسته است اگر و تنها اگر شرط زیر برقرار باشد:
الف) \(\vec R\left( t \right)\) وجود داشته باشد.
ب) \(\mathop {\lim }\limits_{t \to {t_1}} \vec R\left( t \right)\) وجود داشته باشد.
ج)\(\mathop {\lim }\limits_{t \to {t_1}} \vec R\left( t \right) = \vec R\left( t \right)\).
در اینصورت تابع برداری پیوسته است اگر وتنها اگر \(f\) و \(g\) درآنجا پیوسته باشد.
۲- مشتق توابع برداری
اگر\(\vec R\) یک تابع برداری باشد آنگاه مشتق \(\vec R\) یک تابع برداری است که با \(\vec R\) نشان داده میشود و بهصورت زیر تعریف میشود:
بهشرطی که این حد وجود داشته باشد و یا بهعبارت دیگر اگر\(\vec R\left( t \right) = {\rm{f}}\left( t \right)\vec i + g\left( t \right)\vec j\) باشد آنگاه
\(\overrightarrow {R’} \left( t \right) = f’\left( t \right)\vec i + g’\left( t \right)\vec j\)
و مشتق مراتب بالاتر \(\vec R\left( t \right)\) نیز بههمین صورت تعریف میشود:
\(\overrightarrow {R”} \left( t \right) = f”\left( t \right)\vec i + g”\left( t \right)\vec j\)
تعریف: تابع برداری \(\vec R\) را در بازهای مشتقپذیر گویند اگر\(\overrightarrow {R’} \left( t \right)\) به ازای تمام مقادیر واقع برآن بازه موجود باشد.
۳-قضایای موجود در مورد مشتق توابع برداری
اگر توابع برداری \(\vec R\) و \(\vec Q\) بر بازهای مشتقپذیر باشند \(\vec R + \vec Q\) نیز بر آن بازه مشتقپذیر است و داریم:
اگر توابع برداری و بر بازهای مشتقپذیر باشند آنگاه \(\vec R.\vec Q\) نیز برآن بازه مشتقپذیر است و داریم:
اگر\(\vec R\) یک تابع برداری مشتقپذیر روی یک بازه باشد و\(f\) تابعی با مقدار حقیقی باشد که روی آن بازه مشتقپذیر است، آنگاه:
۴- انتگرال توابع برداری
تعریف: اگر\(\vec Q\) تابع برداری بهصورت زیر باشد:
\(\vec Q\left( t \right) = {\rm{f}}\left( t \right)\vec i + g\left( t \right)\vec j\)
آنگاه انتگرال نا معین \(\vec Q\left( t \right)\) به صورت زیر تعریف میشود:
\(\smallint \vec Q\left( t \right)dt = \smallint {\rm{f}}\left( t \right)dt\vec i + \smallint g\left( t \right)dt\vec j\)
حاصل انتگرال نا معین یک تابع برداری، یک تابع برداری است.
\(\smallint \vec Q\left( t \right)dt = \vec R\left( t \right) + C\)
که \(C\) یک بردار ثابت اختیاری است.
مثال ۷: فرض کنید که \(\overrightarrow {R’} \left( t \right) = {e^{ – t}}\vec i + {e^t}\vec j\) و \(\vec R\left( 0 \right) = \vec i + \vec j\)، مطلوبست \(\vec R\left( t \right)\).
حل: \(\vec R\left( t \right) = \left[ {\smallint {e^{ – t}}dt} \right]\vec i + \left[ {\smallint {e^t}dt} \right]\vec j\)
\( = \left( { – {e^{ – t}} + {c_1}} \right)\vec i + \left( {{e^t} + {c_2}} \right)\vec j\)
چون\(\vec R\left( 0 \right) = \vec i + \vec j\) پس
\(\vec i + \vec j = \left( { – 1 + {c_1}} \right)\vec i + \left( {1 + {c_2}} \right)\vec j\)
بنابراین
\( – ۱ + {c_1} = 1{\rm{\;\;}},\;\;\;\;1 + {c_2} = 1\;\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;\;{c_1} = 2{\rm{\;\;}},\;\;\;{c_2} = 0\)
و داریم:
\(\vec R\left( t \right) = \left( { – {e^{ – t}} + 2} \right)\vec i + {e^t}\vec j\)
قضیه: اگر \(\vec R\) یک تابع برداری مشتقپذیر روی یک بازه باشد و \(\left| {\vec R\left( t \right)} \right|\) به ازای تمام \(t\)های واقع در آن بازه ثابت باشد، آنگاه بردارهای \(\vec R\left( t \right)\) و \(\overrightarrow {R’} \left( t \right)\) متعامد میباشند.
طول قوس
فرض کنید منحنی \(C\)دارای معادلات پارامتری زیر است:
\(y = g\left( t \right)\;\;\;,\;\;\;\;x = f\left( t \right)\)
همچنین فرض کنید \(f\) و \(g\) روی بازه بسته \(\left[ {a,b} \right]\) پیوسته باشند. میخواهیم عددی مانند \(L\) را تعیین کنیم که نشاندهنده طول قوس \(C\) برحسب واحد طول از \(t = a\) تا \(t = b\) باشد. فرض کنید\(f’\) و \(g’\)توابعی پیوسته بر بازه\(\left[ {a,b} \right]\) باشند. در اینصورت \(L\)، طول قوس منحنی از نقطه \(\left( {f\left( a \right),g\left( a \right)} \right)\) تا نقطه \(\left( {f\left( b \right),g\left( b \right)} \right)\) برحسب واحد طول بصورت زیر تعیین میشود:
\(L = \mathop \smallint \limits_a^b \sqrt {{{\left( {f’\left( t \right)} \right)}^2} + {{\left( {g’\left( t \right)} \right)}^2}} dt\)
مثال ۸: معادلات پارامتری یک منحنی عبارت است از \(y = 2{t^2}\) و \(x = {t^3}\)، در حالتهای زیر طول قوس منحنی را حساب کنید:
الف) از \(t = 0\)تا \(t = 1\).
ب) از \(t = – 2\)تا \(t = 0\).
حل:الف) نمودار منحنی در شکل زیر نشان داده شده است: (شکل۵)
\(x = f\left( t \right) = {t^3}\;\;\; \Rightarrow \;f’\left( t \right) = 3{t^2}\)
\(y = g\left( t \right) = 2{t^2}\;\;\; \Rightarrow \;g’\left( t \right) = 4t\)
بنابر تعریف بالا داریم:
\(L = \mathop \smallint \limits_0^1 \sqrt {9{t^4} + 16{t^2}} dt\)
\(\;\;\;\; = \mathop \smallint \limits_0^1 \sqrt {9{t^2} + 16} dt = \left. {\frac{1}{{18}}.\frac{2}{3}{{\left( {9{t^2} + 16} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right]\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}\)
\(\;\;\;\; = \left[ {{{\left( {25} \right)}^{\frac{3}{2}}} – {{\left( {16} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right] = \frac{1}{{27}}\left( {125 – 64} \right) = \frac{{61}}{{27}}\)
ب) طول قوس منحنی از \(t = – 2\)تا \(t = 0\) برحسب واحد طول طبق تعریف بالا برابرست با:
\(L = \mathop \smallint \limits_{ – 2}^0 \sqrt {9{t^4} + 16{t^2}} dt = \mathop \smallint \limits_{ – 2}^0 \sqrt {{t^2}} \sqrt {9{t^2} + 16} dt\)
چون \( – ۲ \le t \le 0\) پس \(\sqrt {{t^2}} = – t\) میباشد بنابراین:
\(L = \mathop \smallint \limits_{ – 2}^0 – t\;\sqrt {9{t^2} + 16} dt = \frac{{ – 1}}{{27}}\left. {{{\left( {9{t^2} + 16} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right]\begin{array}{*{20}{c}}0\\{ – 2}\end{array} = \frac{{ – 1}}{{27}}\left[ {{{\left( {16} \right)}^{\frac{3}{2}}} – {{\left( {52} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right]\)
\( = \frac{1}{{27}}\left[ {104\sqrt 3 – 64} \right] \approx 11/5\)
قضیه: فرض کنید \(C\) منحنی دارای معادله برداری \(\vec R\left( t \right) = f\left( t \right)\vec i + g\left( t \right)\vec j\) باشد و نیز فرض کنید \(f’\) و \(g’\)بهترتیب توابعی پیوسته بربازه بسته \(\left[ {a,b} \right]\) باشند. در اینصورت طول قوس \(C\)، که به موازات\(\;t\) افزایش \(t\) از \(a\) تا \(b\)، توسط انتهای نمایش موضع \(\vec R\left( t \right)\) رسم میشود، از روابط زیر بدست میآید:
\(L = \mathop \smallint \limits_a^b \left| {\overrightarrow {R’} \left( t \right)} \right|dt\)
مثال ۹: اگر\(\vec R\left( t \right)\)، طول قوسی را که بهوسیله انتهای نمایش موضع \(\vec R\left( t \right)\)، به موازات افزایش \(t\) از \(۱\) تا \(۴\)، رسم میشود بیابید.
حل:\(\vec R\left( t \right) = \left( {{e^t}\sin t + {e^t}\cos t} \right)\vec i + \left( {{e^t}\cos t – {e^t}\sin t} \right)\vec j\)
\(\left| {\overrightarrow {R’} \left( t \right)} \right| = {e^t}\left( {\sqrt {{{\sin }^2}t + 2\sin t\cos t + {{\cos }^2}t + {{\cos }^2}t – 2\sin t\cos t + {{\sin }^2}t} } \right)\)
\( = {e^t}\sqrt 2 \)
از قضیه بالا داریم:
\(L = \mathop \smallint \limits_1^4 {e^t}\sqrt 2 dt = \left. {\sqrt 2 {e^t}} \right]\begin{array}{*{20}{c}}4\\1\end{array} = \sqrt 2 \left( {{e^4} – e} \right)\)
صورت دیگری از فرمول طولقوس منحنی \(C\) با معادله پارامتری \(x = f\left( t \right)\) و \(y = g\left( t \right)\) باقرار دادن \(\frac{{dx}}{{dt}}\)بهجای \(f’\left( t \right)\) و \(\frac{{dy}}{{dt}}\) بهجای \(g’\left( t \right)\)به دست میآید:
\(L = \mathop \smallint \limits_a^b \sqrt {{{\left( {\frac{{dx}}{{dt}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{dy}}{{dt}}} \right)}^2}} dt\)
اگر بخواهیم طول قوس منحنی \(C\) با معادله قطبی \(r = F\left( \theta \right)\) را بدست آوریم از فرمول بالا و فرمول زیر خواهیم داشت:
\(x = r\cos \theta \;\;\;,\;\;\;\;\;y = r\sin \theta \)
\(L = \mathop \smallint \limits_\alpha ^\beta \sqrt {{{\left( {\frac{{dr}}{{d\theta }}} \right)}^2} + {r^2}} dt\)
مثال ۱۰: طول دلوار \(r = 2\left( {1 + \cos \theta } \right)\) را به دست آورید.
حل: نمودار منحنی در شکل زیر داده شده است. برای به دست آوردن طول تمام منحنی مقدار\(\;\theta \)از \(۰\) تا \(۲\pi \) تغییر میکند یا میتوان از تقارن منحنی استفاده کرد و نصف طول را با درنظر گرفتن مقدار \(\;\theta \)از \(۰\) تا \(\pi \) باشد. چون \(r = 2\left( {1 + \cos \theta } \right)\)پس \(\frac{{dr}}{{d\theta }} = – 2\sin \theta \) . (شکل۶)
طول قوس طبق فرمول بالا برابر است با:
\(L = 2\mathop \smallint \limits_0^\pi \sqrt {{{\left( { – 2\sin \theta } \right)}^2} + 4{{\left( {1 + \cos \theta } \right)}^2}} d\theta \)
\( = ۴\mathop \smallint \limits_0^\pi \sqrt {{{\sin }^2}\theta + 1 + 2\cos \theta + {{\cos }^2}\theta } d\theta \)
\( = ۴\sqrt 2 \mathop \smallint \limits_0^\pi \sqrt {1 + \cos \theta } d\theta \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\)
\( = ۴\sqrt 2 \mathop \smallint \limits_0^\pi \sqrt 2 \cos \frac{1}{2}\theta d\theta \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\)
\( = ۱۶\;\sin \frac{1}{2}\theta \)
تابع طول قوس
مشاهده میشود که طول قوس تابعی از پارامتر تعریف کننده منحنی نیز است یعنی اگر \(a \le t \le b\) آنگاه:
\(S\left( t \right) = \mathop \smallint \limits_a^t \left| {f’\left( \xi \right)} \right|d\xi \)
چون \(\left| {f’\left( \xi \right)} \right|\) تابعی پیوسته روی \(\left[ {a,b} \right]\) است. پس \(S\) تابعی مشتقپذیر از \(t\) است و داریم:
\(\frac{{dS\left( t \right)}}{{dt}} = \left| {f’\left( t \right)} \right| = \left| {\frac{{df}}{{dt}}} \right|\;\;\;\; \Rightarrow \;\;\;\;\left| {\frac{{df}}{{ds}}} \right| = 1\)
تعریف: خم (منحنی)
توسط طول خم پارامتری شده است اگر \(\left| {\frac{{df}}{{ds}}} \right| = 1\) باشد و اگر \(t\) پارامتر دیگری برای خم باشد داریم:
\(\frac{{df}}{{ds}} = \frac{{df}}{{dt}}\frac{{dt}}{{ds}} = f’\left( t \right)\frac{{dt}}{{ds}} = \frac{{f’\left( t \right)}}{{\frac{{ds}}{{dt}}}} = \frac{{f’\left( t \right)}}{{\left| {f’\left( t \right)} \right|}}\)
مثال ۱۱: الف) خم دایره در دو بعدی \(f\left( t \right) = \left( {\cos t,\sin t} \right)\) نسبت به طول خم پارامتری شده است.
\(S\left( t \right) = \mathop \smallint \limits_0^t \sqrt {{{\sin }^2}\xi + {{\cos }^2}\xi } d\xi = t\)
ب) پیچوار \(r\left( t \right) = \left( {a\cos t,b\sin t,bt} \right)\) را نسبت به طول خم پارامتری میکنیم. طول خم در بازه \(\left[ {0,t} \right]\)عبارت است از:
\(S\left( t \right) = \mathop \smallint \limits_0^t \sqrt {{a^2} + {b^2}} d\xi = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = t\;\;\; \Rightarrow \;\;t = \frac{S}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
حال این مقدار \(t\) را در تعریف \(f\) قرار میدهیم:
\(f\left( s \right) = \left[ {a\cos \frac{s}{{{a^2} + {b^2}}},\;a\sin \frac{s}{{{a^2} + {b^2}}},\frac{{bs}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right]\;\;,\;\;\;s \ge 0\)
با این نمایش طول خم \(f\) در بازه\(\left[ {0,s} \right]\) مساوی \(s\) است و \(\left| {\frac{{df}}{{ds}}} \right| = 1\) است.
در اینجا ما توابع برداری ، حساب دیفرانسیل و انتگرال توابع برداری ، طول قوس ، تابع طول قوس را همراه با مثال برای شما عزیزان توضیح دادیم، امیدواریم مورد پسند بوده باشه. در صورت تمایل میتوانید روی لینک های زیر کلیک نمایید تا با مباحث دیگر ریاضی عمومی بیشتر آشنا شوید:
دیدگاهتان را بنویسید
برای نوشتن دیدگاه باید وارد بشوید.